Question

あ

積分(1)について。

286.〈面積の最小値>
a を a≧0 を満たす実数とし, xy 平面において不等式
0≦x≦e-1 かつ y{y-log(x+1)+α}≦0
の表す部分の面積をS(α) とする。
(1) S (α) を求めよ。
(2) S(α) の最小値を求めよ。
[20 神戸大・理系(後期)]

負 286 〈面積の最小値>
(1)αの値によって曲線 y=10g(x+1)-αとx軸の上下関係が異なるため、場合分けをす
る。
(2) S(a)はαの関数なので, S'(α) から S(a) の増減を調べる。
(1)0≦x≦e-1 において
0≦log(x+1)≦1
[1] 0≦a≦1のとき
S(α) は右の図の斜線部分の面積
であるから
ea-1
-Se {log(x+1)-a}dx
S(a)=-So
+fe{log(x+1)-a}dx
Jea-1
=(x+1)log(x+1)-x-ax]
y
|y=log(x+1)-a
ea.
e-1
x
+[(x+1)log(x+1)-x-ax
le-1
ea-1
◆各辺の自然対数をとる。
曲線y= log(x+1)-a
とx軸 (直線y=0)の上
下関係を調べるために必要
な情報となる。
曲線y=10g(x+1)-a
とx軸 (直線y=0)の上
下関係に注意する。
xel の範囲では
_log (x+1)-q≦0 となる。
←log(x+1)dx
=(x+1)^log(x+1)dx
として、部分積分を行う。
=2eª-(e+1)a-1
[2] α >1のとき
S(α) は右の図の斜線部分の面積であ
るから
S(a) = =-S'(10g(x+1)-a}dx
Jo
(x+1)log(x+1)-x-ax
1e-1
=-[(x+1)1
ax -
=(e-1)a-1
[1], [2] より
2e-(e+1)a-1 (0≤a≤1)
S(a) = {(e−1)a-1
pl°
(a>1)
y=lay(xxx/ - a α\ x= e−1
のときの高さの正負で
分ける
y=log(x+1)-α|
y=lay (x+1)
ワーム
ea-1
◆α> 1 のとき,
0≦x≦e-1 の範囲におい
てlog(x+1)-≦0 とな
る。
<a<=> 0≦alのとき
Sは第1、2象限
->1-α<o
<=>kaのとき
Sは第2象限だけ
ey
数学重要問題集(理系)
263

Y { 4- leg (2+1) + α }
4
+al
€ 0
の扱いに関する解説がないのですが、
(
5(9/17 (0≤xse-1
この「y」は何を指しているのですか?
4{4 - log(2+1) + 0} = 0 Fasten
また、どうして何の記述もないまま、1= log(x+1)
1= log(x+1)-ax軸が成す面積
がS()になったのですか?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

数Ⅱの図形と方程式で、
似たようなことはやっていると思います

あ

ありがとうございます。
この流れは特に記述しなくても大丈夫なのでしょうか？

和

こう言ってはなんですが、
この問題の主眼は、面積を求めること、
面積を求めるための場合わけに気づくこと、
それを施行することです

出題者としては、領域がどうこうというのは
この問題で聞きたいこと以前の内容で、
それはわかるはず、そこで差はつかないはず、
という前提なのではないかと思います

その意味では、答案ではこの辺に
あまり割かなくてよいです

ただ、曲線とx軸の交点のx座標がeᵃ-1
くらいは軽く答案で触れると、丁寧かと思います

あ

ありがとうございます。
多分自分は出された問題のどこで出題者に試されているのかとかは分からないと思うので、書きすぎない程度には埋めようと思います。