Question

やっぴー

数列です。(2)について。全体から隣り合う項の積の和を引いてるのはなんとなく分かるんですけど、隣り合う項の積の和って2個ずつ出てくるんじゃ無いんですか？(1)は2Sってなってて求めるものが２倍出てきてて、隣り合う項の積の和も2倍出てくるのかと思ったのですが....
教えてくださるとありがたいです。

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数列 1, 2, 3, ..., nにおいて,(1+2+3+......+n)2 を展開した式を利
使用して、次の積の和を求めよ。
(1) n≧2 のとき, 異なる2つの項の積の和
n≧3のとき,互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和

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問題の考え方■■
(1) 異なる2つの項の積は
( 1+2+3+ ...... + n ) 2
+n)²
を展開した式にすべて2個ずつ現れる。
(2) 隣り合う2つの項の積の和は k(k+1)
で表される。
(1)を利用することを考える。
(1) 求める和をSとする。
( 1 + 2 + 3 + ...... + n ) 2
(1+2+3+.. +n)2
= (12+22 +32 +...
.......+n²)
n-1
k=1
+2(1・2 + 1.3 + ...... + 2 +…………..)
であるから
n
n
Σk k²+2S
\k=1
k=1
n
よって2S k
-
n
\k=1 / k=1
= (1 m (n + 1)² -— — — mm + 1 x 2m+1)
n(n+
1
n(n+1)2n+1)
6
=1
= 1/2(
12n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)}
(3

=
1
12n(n+1)(3n2-n-2)
1
(n-1)n(n+1)(3n+2)
12
したがって,求める和は
1
(n-1)n(n+1)(3n+2)
24
(2)(1) より, 求める和は
1
n-1
k=1
24 -(n-1)n(n+1)(3n+2)-xk(k+1)
1
(n-1)n(n+1)3n+2)
24
1
-(n-1)n(2n-1)-
二
-
n
24
(n-1)n{(n+1)(3n+2)-4(2n-1)-12}
1
=
(n-1)n.3(n²-n-2)
24
1
(n-1)n(n-2)(n+1)
8
CT
学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

全体の構造が見えていないようです

やっぴー

あ、(1)で書いてくださった表の半分が既に出てるから2倍ではなく普通に1つ分？(語彙力なくてすみません)を引けば良いってことですかね！？
ありがとうございます😭