Question

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

マーカーを引いたところが分かりません。
f((1-t)a+tx)=(1-t)f(a)+tf(x)
ということですか？
その場合、f(x)が一次関数ではなくてもこの式変形はしていいんですか？

93. 関数y=f(x) の第2次導関数f" (x) の値が常に正とする. このとき, 実数a, b,
t(a<b,0≦t≦1) について 不等式
f((1−t)a+tb)≤ (1−t)f(a)+tf(b)
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのは,どのような場合か.

実数a, x, t (a<x≦t≦)について,
g(x)=(1-t)f(a)+ff(x)-f((1-t)a+tx)
とおくと,g(x) ≧0を示せばよい.
(i) t=0.1のとき, g(x)=0である.
(ii) 0<t < 1のとき,
g'(x)=t{f'(x)-f'((1-t)a+tx)}
x>αのとき,
x-{(1-t)a+tx}=(1-t)x-(1-t)a (8)
より,
=(1-t)(x-a)>0
x>(1−t)a+tx
であり,また,f" (x)が常に正よりf'(x)
は単調増加だから.nia nie
f'(x) >f'((1-t)a+tx)
よって,g'(x)>0であり,g(x) は単調
増加となるから,
g(x)>g(a)=0
以上, (i)と(i)より,
.ap
f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)+ザ(b)
(t=0,1のとき)
(0 <t < 1 のとき)
f((1-t)a+tb)<(1−t)f(a)+tf(b)
だから,
f((1-t)a+tb)(1−t)f(a)+tf(b)
が成り立ち, 等号成立はt=0, 1のとき.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

質問の意図がよくわからないのですが、
g(x)にx=aを代入してg(a)=0を得ています
これによりg(x)>0を示しています

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

ごめんなさい🙇‍♂️
g(x)にaを代入したときに0になるのがわからないです。

この画像で伝わりますでしょうか？😢

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

f(x)=x²
のときにg(a)=0は成り立たないと思います、

和

意図がわかりました

計算がだいぶおかしいです
正しく計算すると、
f"(x)>0であれば、f(x)がどんな関数かによらず、
g(a)=0であることがわかります

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

ありがとうございます！理解出来ました！