Question

りう

15
群数列の末項が2^n -1になる理由がわかりません、、

14 次の和を求めよ.
2 3
++
4
(1) 1+1/ 22 2+2³
n
+
2n-T
(3) 2+3・22+5・27・2‘+....+ (2n-1) ・2"
3
4 7 10
(2)1+1+1+1/+
9 27
3n-2
例題 8 群数列
(4) 1+3x+5x²+x++(2n-1) ・x-1
3"-1
に分けるとき、次の問いに答えよ。
奇数列を1/3,57, 9, 1113, 15, 17, 1921,
......
のように第n群がn個の数を含むよう
(1) 第n群の最初の数を求めよ.
(2)301 は第何群の第何項目の数か.
(1) 第(n-1)群の最後は初めから数えて, 1+2+3+…+(n-1)=1/2m(n-1)項目.
よって、 第n群の最初の数は,
{12月 (n-1)+1} 項目の奇数だから,2.1/12m(n-1)+1-1=
-1=n²-n+1......
(2)①より,第(n+1) 群の最初の数は,(n+1)-(n+1)+1=n+n+1……②
301が,第n群の第k項目の数であるとすると、 ① ②より、
n_n+1≦301<n2+n+1 よって, n(n-1)≦300<n(n+1):
は自然数だから, ③を満たすnは,n=17
......③
また、第17群の最初の数は,①より, 172-17+1=273
これより,第17群は, 初項 273, 公差2の等差数列だから,一般項は,2k+271
したがって, 2k+271=301より,k=15
ゆえに、第17群の第15項目の数.
15 自然数を次のような群に分ける。このとき,次の問いに答えよ.
12,34, 5, 6, 78, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16,
(1)第2群にある数の和を求めよ.
(2)500 は第何群の第何項目の数か.
ポイント
① (等差数列の項)×(等比数列の項) の形の数列の和 S, は, S, の両辺に等比数列の公比rを掛けて,
S-S の形をつくる.
②一般的に,群数列の問題は,n群(n-1群)の最後が,初めから数えて何項目になるかを求めて
おくとよい。

(3)S,2S,={1・2+32 +52 +......+ (2n-1)・2"}{1・2'+32++ (2n-3)・2"+(2n-1)・2"+1}
-S„=1・2+2・2+2・23+......+2・2"-(2n-1)・2"+1=2+
2-22 (2-1-1)
(2n-1)-2+1
2-1
よって, S„=-2-2"+2+2+n・2"+22"+1=6+ (2n-3)・2"+1
(4)x=1のとき,S,=1++++(n-1) = (1+2n-1)=n(x=1)
x=1のとき,S,-xS, = {1+3x+5x2++(2n-1)x"}}{x+3x²++(2n-3)x"-1+(2n-1)x"}
(1-x)S„=1+2x+2x'+......+2x"-1_(2n-1)x"=1+ 1-x
17, S₁ = 11x+2x=2x"
(1-x)2
2x (1-x-1)
--(2n-1)x"
(2n-1)x"_1+x-(2n+1)x"+(2n-1)x+1
(x≠1)
1-x
(1-x)2
2"-1(2"-1+2"-1)
-=2"-2(3・2"-1-1)
2
15(1)第2群は, 初項 2"-1, 末項 2"-1, 項数 2"-1 の等差数列だから,
(2)500 が第2群の数であるとすると, 2"-1500≦2"-1 で, nは自然数だから, n=9
第9群の最初の数は256 だから, 500-256+1=245より, 第9群の第245項目
10
P20
[混合問題〕
10
1 (1) 4-1-(2-1) (24+1)=(24-1-24+1)
(2)
k=1
13
=
10
/12/11-1/2)+(1/1)+(1921)}/2/2(1-2) - 1/1
21
4(+2) 11 (+16k+15)=4/1・8・9・17+16/1/2・8・9+15-81512
(3) Σ br = ± br− Σ br= ± (2k²−12k+21)— (2k²-12k+21)
k=6
k=1
=2・1・13・14・27-12・12・13・14+21・13 (2・3・5・6・11-12・12・5・6+21•5)=784
n-1
(1)=-1+2+1)=-2(2) これはn=1でも成り立つから,一般項は-2
n-1
k=1
(2)am=3+2=2"+1(≧2) これはn=1でも成り立つから,一般項は2"+1
k=1
3 n≧2 のとき, an=S"-S-1=a+b+(n-1)・2a この式より, n=1のとき,=a+b
S= であればよいから, a+b+c=a+bより,c=0
4 (1)第k項は,9·(1+10+10.10 10''=9.1(10^-1)
7=1
-=10-1
10-1
よって、 (10-1)=101001
10.(10-1)
n=
10+1-9n-10
9
(2)第1項は,(1)(2)=1/21k('+1) (a+1)'(+2)}
よって、(1)(2)=1/11(1/122/13)+(2/13 3/4)+
1
+(x (n+1)(x+1)(x+2)}
-2/12(+1)'(x+2)}= a(n+n(n+2)
+......+
1
2
5 (1)一般項は,
n(n+1)
だから,7+1)=22(14)=(1)
2n

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

n群の初項が2ⁿ⁻¹であり、n+1群の初項は2ⁿです
今回の数列は1ずつ増えている数列なので、
n群の最後は、n+1群の最初から-1すればいいだけです
だから2ⁿ-1になります

りう

n群の初項から-1してたので答えが合わなかったぽいです！！解決しました！ありがとうございます😭

Answer 2

よー

分からないところあったら言ってください！

りう

初項1.公比2の等比数列は、各群の最初の数をとった数列のことですか？

よー

各郡の中に入っている数の総和の数列です。

りう

各群の中に入ってる数の総和の数列を表してると言うことは、公比じゃなくて公差が1になるのではないのですか？
何度も質問してしまってすみません🙇‍♀️