Question

餅

｢ab+2cとab×2cが互いに素⇔abと2cが互いに素」
となるのはどうしてか教えて欲しいです！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

ab と 2c が互いに素ではない
つまり、2つを両方割る整数 d＞1がある、とする。

すると、d│ab、d│2cだから、ab+2c=(ab)+(2c)も両方 dの倍数の和なのでd│(ab+2c)

すると…
dは ab+2cも割るし、もちろん 2abcも割る（だってab と 2c を割ってるから）。

つまり、
ab+2c と 2abc に共通の割れる数 d＞1が存在
→ 互いに素じゃない！これは最初の仮定「互いに素」と矛盾❗

だから仮定が間違いでab と 2c は互いに素である🙇

餅

ありがとうございました！！