Question

芽瑠

右側の問題の解き方を教えてください。
解答のような図、接点の座標の求め方がわかりません

10
第2問 (配点 15)
0 を原点とする座標平面上に、二つの円
C₁x²+-1
C2(x-4)2+(y-3)2=4
がある。
円 C 上の動点Aにおける円 C の接線と, 円 C 上の動点Bにおける円 C2 の接線
が交わるとき,その交点をP(x, y) とする。 PA = PBが成り立つような点Pの軌跡
について考える。
(43)
円 C. の中心は0であるから, OA である。また、円の中心をC2と
すると, C2B=1である。
PALOA, PBIC,Bより, OPA. AC2PBは直角三角形である。 このことを
利用すると, 点Pの軌跡の方程式は
4x+ ウエオ=0
と求めることができる。
PCX,4)
・①
数学 数学 数学C第2回は次ページにく)
PA=PB
2
16
次に、直線①上に点Qをとり,点Q から円 C に引いた接線と円 C の接点をR, S
とし,点Qから円 C2 に引いた接線と円 C2 の接点をT, Uとする。
このとき, 4点R, S, T, Uは点Qを中心とした円 K の周上にある
点のx座標が2であるとき、円の半径はカ
である。このとき,
キ
tan ∠RQS =
である。
ク
(68)
また、円Kの半径が最小になるとき、点Qの座標は
ケコ
サシ
である。
25
25
E
R
詞)

ウ
半径
=x2+y2-1
PB⊥C2B であるから
PB2=C2P2-C2B2
=(x-4)2+(y-3)2-4
PA2=PB2 であるから
x2+y2-1=(x-4)”+(y-3)"-4
8x+6y-22=0
よって 4x+3y-11=0
①」
に点Q
C2に
R, S
が2で
キ
円 C の半径は1, 円 C2 の半径は2であるから
OA=1,C2B=2である。」
ここで,PA=PB より PA2=PB2
PA⊥OAであるから, P (x, y) とすると
PA2=OP2-OA2
B
[A]
第2問
図形と方程式, 三角関数
4).
00
差がつく!
B
Ca
C, (4, 3)
A
図をかいて考えるようにしよう。
例えば、点Pの軌跡の方程式を求
めるとき,まず円 C1, C2 と直角
三角形OPA, △C2PB をかく
と、この条件をどう利用すればよ
いかを視覚的に考察することが
できる。
22
=0
2014
20
y
0
C₁
x
[A]
2006.E
での距離は等しい。
点Qは直線①上の点であるから 2つの円 C1 C2 に引いた接線の接点ま
よって
QR=QS=QT = QU
PA> 0, PB >0であるから
PA=PB⇔ PA'=PB2
この関係からx, yの関係式を導け
ば,それが点Pの軌跡の方程式で
ある。
[B]
PAOA より, △OPAは直角三
角形であるから, 三平方の定理が成
C
点Qのx座標が2であるとき、座標はり立つ。
4・2+3y-110
YA
0
[C
y=1
C2
よって Q(2,1)
円外の点Qから円に引いた接線の
長さは等しいから い
TC2
このとき,円 C1 は中心 0, 半径 1, ま
た,円 C2 は中心 C2 (4, 3), 半径2であ
るから,円 C の接点の1つは点 (0, 1),
円C2の2つの接点は点 (2,3),(4,1)
3
QR=QS, QT = QU
1 R
Q
2
C₁
とわかる。
QR = 2
このとき, OQR = ∠OQS であり
D
OR
1
tan ∠OQR =
QR
2
よって
tan ∠RQS = tan2∠OQR
R(0, 1), T (2,3), U(4, 1) として考えると,円Kの半径は
-ATTENTION!
円 C の2つの接点のうち、どち
らをRとし,どちらをSとするか
は、問題文では指定されていな
い。どちらに設定しても条件を満
たすので,自分で設定して考えて
いけばよい。
2tan ∠OQR
D
El
1-tan² ZOQR
1
2.
2
4
1
2
3
1
2
△OQR, △OQS は斜辺と他の1辺
がそれぞれ等しい直角三角形であ
るから
△OQR=△OQS
次に,円Kの半径を とすると
r2=QR2=OQ2OR2 Point
=0Q2-1
(第9回5)
[E
角の公式
2 tana
tan 2a =
1-tan² a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

1枚目の右ページのカ〜の話でしょうか？

2つの円の位置やサイズをそれなりに描けば、
（C2の左端がx=2とか
C2の下端がy=1とか
C1の上端がy=1とかはわかるから）
Qがx=2のときの接線は感覚的に描けそうです

芽瑠

ありがとうございます！
複雑に捉えすぎて分からなくなっていました、、！