Question

りんご

この問題の(2)についてで、問題の考え方のところで2.3枚目の写真のアプローチの(ロ)のように書いてあったのですが、3枚目の矢印で連想していくところはどのようにすれば思いつきますか？

定積分の評価・極限
24nを自然数とし, In
T = So
0
xnex dx とおく.
(1)In と In+1 の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) すべてのn に対して, 不等式
e
e
<In<
n+2
n+1
が成り立つことを示せ.
(3) lim n(nIn-e) を求めよ.
n→∞
143-24
〔大分大〕
アプローチ
(イ) In は
(1)-
J (多項式)×(指数関数)であり、また”乗を含む定積分でもあり

定積分の評価・極限
24nを自然数とし, In
= xnex dx とおく。
(
(1) In と In+1 の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) すべてのnに対して,不等式
e
n+2
+2 <In<
e
n+1
が成り立つことを示せ.
(3) lim n(nIn-e) を求めよ.
n→∞
(x)に
アプローチ
(*)
〔大分大〕
トがあ
X
D
0
(イ) Inは(多項式) × (指数関数) であり,またn 乗を含む定積分でもあり,
12/13
(1)で漸化式を導けといっています ( 23 (イ) (ロ)).
ます.
(2)について,次の2つの方針が考えられますが, どちらをとるか悩み
(i) 定積分についての不等式の証明だから25 (へ)のように被積分関数の評価
からスタートする.
(ii) 数列の漸化式を導いたあと,一般項についての証明なので帰納法を利用
する.
In の定義式をみていると考える材料として次のものが思いうかびます。
(a) 0≦x≦1のとき 1 ≦ex Me
(b)0 <x<1のとき {x} はnについて減少する:x" > xn+1
1
1
(c)
S
xndx=
1
n+1’
L xn+1dx=
n+2
の不着式
(d) 帰納法を利用しようと思い、漸化式と証明すべき不等式から I, を消去
すると
In<-
e
e-In+1
e
<
⇔ In+1 > 0
・(*)
n+1
n+1
n+1
となり
e
n+2
< In⇔
e
e-
<
n+2
- In+1
n+1
e
>In+1...(*)
n+2

ができる.
これらを総合して解答を作り上げます。 結局, 帰納法ではないことが
の作業からわかります. なぜなら簡単に示せる (*) の一番右の不等式を証明
し, そこから(*) の一番左の不等式を導く. そのn を1つ増やすことで(*)
の一番右の不等式を導き、最後にそこから(★) の一番左の不等式を導くとい
う流れです.最初の不等式はもちろん (i)の考え方です.
3)-4
0< In
nをn+1
に変える
漸化式に
e
0 < In+1
・In <
代入
n+1_nmil (8)
nをn+1
漸化式に
e
→ In+1 <
に変える
n+2
代入
n+2
e _< In
を利用することは
(ハ) (3)について, (不等式) + (極限) だから 「はさみうち」 を利用することは
わかります. しかし (2) の式をそのまま使うとはさめません。
<失敗例>
-e <nIn-e < ne
e
n+2
<In< _e
n+1
en
n+2
-2e
n+2
-2en
Con+2
<nIn-e< -e
-e
n+1
n+1
<n(nIn-e)< -en
n+1
こ
・(t)
(t) n→∞ とすると (左辺)-2e, (右辺) - となり, はさめない.
この失敗から (1) の右辺に nIn-e が隠れていることに気づけるかどうかが
ポイントです.
解答
(1)
1
In+1=
S x+1e* dx = [x²+1e*] - (n + 1) ["
xnexdx
=e-(n+1)In

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

連想するというより、与式（積分の式）と(1)の関係式を眺めていて、何か思いつくか（気づくか）どうかです

Iₙ=e/(n+1) - Iₙ₊₁/(n+1)･･･※
与式から、Iₙ>0、Iₙ₊₁>0に気づくと、※を用いて以下が成り立つ
Iₙ=e/(n+1) - Iₙ₊₁/(n+1)
　<e/(n+1)

また、Iₙ>Iₙ₊₁も与式から気付くと、
Iₙ=e/(n+1) - Iₙ₊₁/(n+1)
　>e/(n+1) - Iₙ/(n+1)
整理すると、Iₙ>e/(n+2)

「漸化式に代入」という表現が難しく感じてしまったのではないでしょうか？
Iₙ>Iₙ₊₁>0に気づけば、これを用いて式に代入して不等式を計算しているだけです

お悩みは解決しましたか？

りんご

解決しました！丁寧に教えてくださりありがとうございました！