Question

みみ

問2のqの式がなぜkよりも大きくなるのかがわからないです。教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

[Ⅱ]
1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードが箱に入っている。この箱から無作為にカードを1枚取り出して数
字を記録し、箱に戻すという操作を繰り返す。 ただし, 回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも
小さい数字のカードを取り出した場合に,k を得点として終了する。 2≦k≦n+1 を満たす自然数んについて, 得点が
となる確率(k) とするとき, 次の各問いに答えよ。
問1 (2) を求めよ。 答えのみでよい。
ア
ウ
2pm(k)=
である。 ア ~
H に入る適切な式をnまたはkを用いて表せ。
イ
k!
エ
n+1
k=2
問3得点の期待値をnで表した式を f(n)=kpm(k) とするとき, 極限値limf(n) を求めよ。
888
・

になる
[Ⅱ]
問1 1回目の操作で記録した数字をα 2回目の操作で記録した数字を とすると, 得点が2となるのは
(a, b)=(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
のときである。よって
1\2 2
A/2)=6(+)'=
P3 (2) =6
3
3
問2 得点がんよりも大きくなるのは,回目まで次々に直前よりも大きい数字のカード
が取り出される場合である。
[1] kn のとき
①
①の場合の数は,n枚のカードから枚を取り出す組合せの数だけある。
よって、得点がんよりも大きくなる確率を gm(k) とすると
q„(k)=. k
nCk
n
ゆえに、得点がk以下となる確率は
1-g,(k)
x
したがって,得点が k となる確率を Pkとすると
Ps={1-9„(k)}-{1-9,(k-1)}=9m(k-1)gn(k)=k-12Ck
n
1
n!
1
n!
==
n
k-1 (k-1)!(n-k+1)!
n!
=
n
1
nk k! (n― k)!
kk!(n-k+1)!{kn-(n-k+1)}=
[2] k=n+1のとき
1
2
k-1
(n+1)!
②
k!(n-k+1)!
のカードを順に引き, k +1回目はどのカードを引いても

Answer 1

和

質問は
「得点がkより大きくなる確率が
四角の式になるのはなぜか」
でしょうか？

分母は、毎回n通りで取り出すのをk回行うのでnᵏです
（つまり順列を考えています

分子は「1〜k回まで、数が順に大きくなる順列」です
たとえば「1,2,4,7,8,……,n」のように、
単調に大きくなる並びです

これは、異なるn個の数1,2,3,……,nから、
異なるk個を選ぶ組合せnCkだけあります
たとえば「1と2と4と7と8と……n」
という組合せ1つを決めると、
「1,2,4,7,8,……,n」という並びが1つできるからです

念のため具体例:
n=4, k=3の場合を考えます
（1,2,3,4の4枚のカードから3回引く
このとき、3回のカードが順に大きくなる並びは
4C3 = 4通りです

組合せ
「1と2と3」「1と2と4」「1と3と4」「2と3と4」
が決まると、
たとえば「1と2と4」を選んだとき、
並びは自動的に「1,2,4」という1通りが決まります

つまり「4個から3個選ぶ組合せ」1通りと
「大きくなる並び」1通りが対応しているわけです
だから、並びを数えるなら、組合せを数えればよいのです

4P3 = 24などとするとおかしいのがわかるはずです