Question

大池小池

こちらの赤丸のところは暗記した方がいいですか？計算でも出してくれる方いませんか？

400
基本 例題 32
an+1=pan+g" 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-3+1
CHART & SOLUTION
出
漸化式 α+1=pan+g" (p≠1)
① 両辺を α+1 で割る
②両辺で
+1/2の形 b=0とおくとbm+1=0but
00000
es
b" の係数が
an+1 an
=
+ 1/(%)の形
b₁₁ =
an とおくと bn+1=1.6m+-
+1(%)
基本29.30
解答
Q+1=20-3" の両辺を3"+1で割ると1/31
=
の方針。
an
bn
=
とおくと bn+1=10-
-1
+ Dan+α型になる。
3月
これを変形すると buts+3= 1/2(bn+3)=1/30-1を解くと
a=
3
また bi+3=321+3=123+3=4
a=-3
よって, 数列{b,+3} は初項 4. 公比 12/23 の等
その等比数列であるか
2
VITO
bn+3cm とおくと
21
n-1
ら
bn+3=4-
ゆえに 6=4.
-3
J
(限
したがって an=3"bm=3.2n+1-3n+1
-
←4･
[別解]
an+1=2an-3"+1 の両辺を2" で割ると

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

これ自体は覚えなくてよいです
1つか2つか前の例題にあるであろう、
aₙ₊₁ = p aₙ +q型の処理ができればよいです
このaₙ₊₁ = p aₙ +q型に帰着させる問題が多いです

今回も、漸化式の最後の3ⁿ⁺¹に着目して
漸化式の両辺を3ⁿ⁺¹で割る
（別に3ⁿでも3ⁿ⁻¹でも何でもよい）と、
aₙ₊₁ = p aₙ +q型になる、という流れが
この例題で習得することです

和

「計算で出す」の意味がよくわかりませんが、
3ⁿ⁺¹で割った後の途中式のことでしょうか？

大池小池

なるほど！とてもわかりやすいです、ありがとうございます。途中式が知りたかったので助かりました！

GDO

＜ご参考＞3ⁿ⁺¹で割らなくても、以下のように変形して求めることもできます
aₙ₊₁+3ⁿ⁺²=2(aₙ+3ⁿ⁺¹)
aₙ+3ⁿ⁺¹=2(aₙ₋₁+3ⁿ)
　　=2ⁿ⁻¹(a₁+3²)
　　=2ⁿ⁻¹・12
　　=3・2ⁿ⁺¹
aₙ= 3・2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹

大池小池

両辺に足してみたのですが、上手くできません。
1番最初の式はどのようにして出すのですか？

大池小池

すみません🙏2行目以降も詳しくお願いできますか？

GDO

●先ずは、式が正しいことの確認
aₙ₊₁+3ⁿ⁺²=2・aₙ - 3ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²
　　　　=2・aₙ - 3ⁿ⁺¹+3・3ⁿ⁺¹

3ⁿ⁺¹=xへ置き換えて考えるとミスが減ります
- 3ⁿ⁺¹+3・3ⁿ⁺¹ = - x+3x = 2x=2・3ⁿ⁺¹

　　　　=2・aₙ + 2・3ⁿ⁺¹
　　　　=2(aₙ + 3ⁿ⁺¹)

与式⇔aₙ₊₁+3ⁿ⁺²=2(aₙ + 3ⁿ⁺¹)

●どのようにして出すのか？　2行目以降も詳しく！
aₙ₊₁+α=β(aₙ + α)の変形と同様に考えるのですが、αに3ⁿ⁺¹、3ⁿを乗じておきます
（与式に3ⁿの項があるので、左辺と右辺に分けられるようにするため）
⇒(aₙ₊₁+α・3ⁿ⁺¹)=β(aₙ + α・3ⁿ)
与式と同じになるように、αとβを求めてみると、α=3、β=2が求まる。
(aₙ₊₁+3ⁿ⁺²)=2(aₙ +3ⁿ⁺¹)

bₙ₊₁=(aₙ₊₁+3ⁿ⁺²)、bₙ=(aₙ+3ⁿ⁺¹)へ置き換えると
bₙ₊₁=2bₙ
↓
bₙ=2bₙ₋₁
　=2²bₙ₋₂
　=2³bₙ₋₃
･･･
　=2ⁿ⁻¹・b₁

b₁=(a₁+3²)=12であるから、
bₙ=2ⁿ⁻¹・12=3・2ⁿ⁺¹
bₙ=(aₙ+3ⁿ⁺¹)に戻すと、
(aₙ+3ⁿ⁺¹)=3・2ⁿ⁺¹
aₙ=3・2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹