Question

人

選項（5）是怎麼求的，謝謝！！

11. 有關下列不等式的敘述,哪些選項是正確的?
a+b= √ab a
(1)設a,b為實數,則º +1 0 2
Q
A + b
Z
(2)設4,b為正數,則ㄉㄇㄧ+ ㄐㄩㄢ 22
≥2
,
a b
,
(3)α α b₁ b₁₂ ✯H › µll (a‚² + a₂²)(b,² + b²) ≥ (ª‚b‚ + a¸b₂)²
(4)設士,丁為兩非零向量,則
(5)|x|+|2-x|的最小值2,其中x為實數
.
.
v = 14/1
大

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

法一：分段討論
若 x ≤ 0
|x| + |2-x| = (-x) + (2-x) = -2x+2 ≥ -2·0 + 2 = 2
若 0 ≤ x ≤ 2
|x| + |2-x| = (x) + (2-x) = 2
若 x ≥ 2
|x| + |2-x| = (x) + (x-2) = 2x-2 ≥ 2·2 - 2 = 2
所以最小值為 2

法二：中位數
公式如下：
若 y = |x-a₁| + |x-a₂| + |x-a₃| + ⋯ + |x-aₙ|
當 x 為 a₁, a₂, a₃, ⋯, aₙ 的中位數時
y 有最小值
(註：若 n 為偶數，當 x 在第 n/2 和第 n/2 + 1 個數之間(含)都會讓 y 有最小值)
所以 |x| + |2-x| = |x| + |x-2|
在 0 ≤ x ≤ 2 時有最小值
代入其中任意一個值，得到最小值是 2

法三：三角不等式
公式：|a| + |b| ≥ |a + b|
(等號成立時，ab ≥ 0)
所以
|x| + |2-x| ≥ |(x) + (2-x)| = |2| = 2
得到最小值為 2
(等號成立時，x(2-x) ≥ 0，也就是 0 ≤ x ≤ 2)