Question

りんご

漸化式で（3、4）の隣と消える形にする変形はどのようにしたら思いつけますか？

n
n
219-36
(3) (4) = {(k + 1) −1}k! = {(k + 1)! − k!} = (n + 1)! − 1
k=1
n
(4) (4x) = Σ (1+1
k=1
Σ(1+1+2)=2- +2
k=1
2k
2n

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ものぐさ

(2)はまだしも(1)は初見で自力で気がついたのでしょうか？
結局は典型処理なんでそれっぽい形の変換を覚えて似たような奴が出てきたらその経験を活かして似たような処理をやってみるってだけです。

ものぐさ

ちなみに差の形にする事は、入試問題を解く時には割と汎用性が高くてある程度予測さえすれば文字で仮定し恒等式を解く事で変形できます。

りんご

なるほど理解しました！みなさん、すごく丁寧に教えて頂きありがとうございました！

Answer 2

GDO

(3)の思い付くポイント
k・k!を計算しやすい（簡単な）形にできないか。
(k+1)・k!→(k+1)!を作って、余分な部分を消すとうまくいかも。
という感じで考えます。
k・k!=(k+1)・k!-k!=(k+1)!-k!
あっ、順次消えていくヤツだ！と思い付く。

(4)の思い付くポイント
この問題は消える形に変形しなくても解ける問題ですが、消える形にする練習ですね。
私には、消える形の変形は思い付きません。（消える形は後述します）
なぜなら、よくある基本計算の問題だからです。
S =1/2+2/2²+3/2³+…+n/2ⁿ　…➀
S/2=1/2²+2/2³+3/2⁴+…+n/2ⁿ⁺¹　…➁
➀-➁を計算すると
S-S/2=1/2+1/2²+1/2³+…+1/2ⁿ-n/2ⁿ⁺¹
S=1+1/2+1/2²+…+1/2ⁿ⁻¹-n/2ⁿ
　=(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)-n/2ⁿ
　=2(1-1/2ⁿ)-n/2ⁿ
　=2-(2+n)/2ⁿ

Σk・2ᵏを計算したことありませんか？同じです。
ーーーーー
「順次消える形に変形して解きなさい」というのであれば、以下の様に考えます。
k/2ᵏ　→　(k+1)/2ᵏ⁺¹-k/2ᵏ　こんな感じにできないか？
(k+1)/2ᵏ⁺¹-k/2ᵏを計算してみると、(1-k)/2ᵏ⁺¹？うまくいかない。
(k+2)/2ᵏ⁺¹-(k+1)/2ᵏを計算してみると、-k/2ᵏ⁺¹
なんかうまく行きそう。という感じです。

りんご

いつもありがとうございます！

Answer 3

MR

　実は数学的には、こうやって階差で和が求められる場合ってかなり限られてるんすよね。だから問題に出てるってことは特殊な場合で、素直に考えてくとわかるようになってます。
　例えば(3)、階乗があります。だから何となく答えも階乗出てきそうな気がします(少なくともsinやら整式ではムリそう)だからとりあえずk！で試していけたわって感じ
　(4)に関しては、これは一次式×指数関数なのでこれじゃないやり方が有名ですが、これも結果が一次式×指数関数になりそうってわかると、(Ak+B)/2^k とかっておいてA,B求めるのが良いかもです。

りんご

ありがとうございました！