大一 後)
Cy
で
D
歌
の最大値を求めよ. ただし, αは負の定数とする.
3/11
142 変数関数/1文字固定法
x0,y,x+y≦2を同時に満たすx,yに対し,
z=2xy+ax+4y
xy
では
な
y t
のハ
(東京経済大, 改題)
2-
例題12や13のときと違い, 本間では2変数の間には等式の関係はない!
1文字固定法
こういう本格的な2変数関数を扱うときの原則は,
とりあえず, 2変数のうちの1変数を固定してしまう (定数とする)
という考え方である。仮に、が整数だとして本間を考えると, yは0.1.2の値を取る.そこで,
= 0, 1, 2 のそれぞれの場合について、この1変数関数であるぇの最大値をそれぞれM. M1,M2 とす
ると, 求める最大値は,
Mo, M1, M2 のうちの最大のもの
であることは明らかであろう.例えば,日本を3ブロックに分けたときのそれぞれの優勝者をMo, Mi,
M2 とすると,日本一の者はこの3人の中にいるはずということである。
Mo, M, M はいわばブロック予選の勝者で,そういう勝者を集めておこなった決勝戦の勝者こそ
真のチャンピオンであるということである。
とりあえず1文字を固定する」というのは数学の重要な考え方の1つなので,きちんと身につけて
おこう
解答
y≧x+y=2により, x2である。よってェの範囲は,0≦x≦2... ①
とりあえずを固定すると, z=2ty+α+4y. これをyの1次関数と見て,
2=(2t+4)y+at (0≤ y ≤2-t).
ェを定数にする。 (zを定数とす
る)
す。
・☆
2+40により,これは増加関数であるから, xをtに固定したときのzの最
大値は, y=2-tのときの
(2t+4) (2-t)+at=-2124 at +8
・・②
, 前
程式
である.ここで, t を動かす. すなわち, ②をtの関数と見なす. ①によりtの
定義域は 0≦t≦2 であり, この範囲では, α <0 により ② は減少関数であるから,
t=0で最大値8をとる. 以上により, 求める最大値は8である.
②はブロック予選の優勝者 (たと
「ェ=1ブロック」の優勝者
えば
はα+6である)
at はともに減少関数 (グ
212,
ラフを考えれば明らか).
注 上の解答の流れをもう一度説明しよう.
b.
x0,y,x+y≦2 を満たす点 (x, y) は右図
網目部上にある. P(x, y) がこの網目部を動くと
きのzの最大値を求めればよい。ここまではOK。
とりあえずを固定 (右図では =tに固定) す
ると,点Pは右図の太線分上田動くと赤のとはどういう
の最大値が②である上図の太線分を≦t2で動なが
かせば、網目部全体を描くので、②を≦t≦2で動
かしたときの最大値が求める値である まとめると、
1° x を tに固定, yの関数と見る.
2
2-t
y=2-x
2 x
x=t
←yが太線分上を動くとき, ☆によ
りはyの増加関数であるから,
y=2t のとき最大となり,その
2°yを動かして最大値をtで表す.
なぜ、~ので、で赤下線が最大値が② である。
いえるのか?
3°2°tの式をtの関数と見て、その最大値を求める .
14 演習題 (解答はp.60)
( 東大文系)
1文字固定法の威力が分
かるはず.
平面内の領域-1≦x≦y1において
1-ar-by-ary
の最小値が正となるような定数 α, bを座標とする点 (a, b) の範囲を図示せよ.
47
一後)
3/11x
14 2 変数関数/1文字固定法・
y+y≦2を同時に満たすx,yに対し,
z=2xy+ax+4y
の最大値を求めよ. ただし, a は負の定数とする.
東京経済大, 改題)
1文字固定法
例題 12 や 13 のときと違い, 本間では2変数, gの間には等式の関係はない!
こういう本格的な2変数関数を扱うときの原則は,
とりあえず, 2変数のうちの1変数を固定してしまう (定数とする)
という考え方である。仮に,”が整数だとして本間を考えると,yは0.1.2の値を取る.そこで,
1,2のそれぞれの場合について、この1変数関数であるぇの最大値をそれぞれ Mo My, M2 とす
ると,求める最大値は,
Mo, M1, M2 のうちの最大のもの
であることは明らかであろう、例えば、日本を3ブロックに分けたときのそれぞれの優勝者を Mo, Mi,
M2 とすると,日本一の者はこの3人の中にいるはずということである.
Mo, Mi, a はいわばブロック予選の勝者で,そういう勝者を集めておこなった決勝戦の勝者こそが
真のチャンピオンであるということである。
とりあえず1文字を固定する」というのは数学の重要な考え方の1つなので,きちんと身につけて
おこう。
解答
2
v sty≦2により,x2である。よって』の範囲は,0≦x≦2………………①
とりあえずェを固定すると, z=2ty+ât+4y. これをyの1次関数と見て,ェを定数にする.(xを定数とす
z=(2t+4)y+at (0≦y≦2-t)
....
2+40により,これは増加関数であるから, xをtに固定したときのzの最
大値は,y=2-t のときの
(2t+4) (2-t)+αt=-2124 at +8
・・②
②はブロック予選の優勝者(たと
えば 「z=1ブロック」の優勝者
はα+6である)
である.ここで,t を動かす.すなわち, ②をtの関数と見なす. ①により,tの
定義域は 0≦t≦2 であり,この範囲では,a<0 により ② は減少関数であるから,
t=0で最大値 8をとる. 以上により, 求める最大値は8である.
at はともに減少関数(グ
-2t2,
ラフを考えれば明らか).
注 上の解答の流れをもう一度説明しよう.
YA
x0,y,x+y≦2 を満たす点 (x, y) は右図
網目部上にある.P(x, y) がこの網目部を動くと
きのぇの最大値を求めればよい.
2
2-t
y=2-x
とりあえずを固定 (右図ではx=tに固定) す
ると,点Pは右図の太線分上を動く. このときの
の最大値が②である。 図の太線分を, 0≦t≦2で動
かせば、網目部全体を描くので,② を 0≦t2で動
かしたときの最大値が求める値である. まとめると,
0
2
x=t
1°xtに固定, yの関数と見る.
2°y を動かして最大値を tで表す.
3°°の式を関数と見て, その最大値を求める.
14 演習題 ( 解答はp.60 )
ry平面内の領域-11-11 において
1-ar-by-ary
の最小値が正となるような定数 α, bを座標とする点 (α, b) の範囲を図示せよ.
←y が太線分上を動くとき, ☆によ
り 2はyの増加関数であるから,
y=2-t のとき最大となり、 その
最大値が② である.
y30
x
こでは
がな
1文字固定法の威力が分
( 東大文系)
かるはず.
x=
ty
y.
47
それはわかりましたありがとうございます！追加質問で、②は減少関数と言ってますが、一次関数なら必ずゼロで最大ってわかりますが、二次関数だからどこにゼロから2の範囲がくるかわからないし、2が最大ってなることもあると思うんですよね、図で考えた場合。
でも、それぞれの値出せばえーはマイナスから、ゼロのとき最大とわかりますが、図の場合なぜ二次関数のやつ書いてくれたみたいなとこに範囲がくるとわかるのですか？