Question

絶対合格

証明の問題なんですが、私は二項定理を使って解いたんですが合ってますよね💦
本当に字があんまり綺麗ではなくてすみません😢

問題1. (選択)
nを正の整数とし,f(n)=n-1 という式について考えます。 A
さんは下の結果から, nが5の倍数でないとき,f(n) の値は必ず
5の倍数になるのではないかと予想しました。
f (1) =0=5×0
f (2) =15=5×3
f (3) =80=5×16
f (4) =255=5×51
f (5)=624
f (6)=1295=5×259
f (7) =2400=5×480
f(8)=4095=5×819
f (9) =6560=5×1312
f (10) = 9999
Aさんの予想は正しいですか。 正しければそのことを証明し,そ
うでなければ反例を挙げなさい。
(証明技能)

予想は正しい。
(証明)
f(n)=n-1=(n-1) (n2+1)= (n-1) (n+1) (n2+1)
このとき、3つの因数のいずれかが5の倍数のとき, f(m) は5の倍数
であるといえる。
kを正の整数とする。
(i) n=5k-1のとき
5の倍数でない自然数は,正の整数に
対して, 5k-1.5k-2.5k-3.5k-4と
表せる。
n+1=5kより,
n+1は5の倍数である。
(ii) n=5k-2のとき
n2+1=(5k-2)'+1
=25k-20k+5
=5 (5k2-4k+1)
より,n2+1は5の倍数である。
(i) n=5k-3のとき
n2+1=(5k-3)2+1
=25k-30k+10
=5 (5k2-6k+2)
より, n² +1は5の倍数である。
(iv) n=5k-4のとき
n-1=5 (k-1)より
n-1は5の倍数である。
したがって, (i)~ (iv)より、nが5の倍数でないとき,f(n)は、
倍数である。

12
50
んからの倍数ではな
(h)の値は必ず5の倍数になることを
証明する。
(正しい)小さい
んからの倍数ではないから
h=5k+1(には舟数)
とします。
7(h) = (5k+1) 4-1
2の
625
平項定理を用いて、
4c4(sh)+4c3(5))+40(ok)とり
+421 (5K) (11³ +ACD (5/2) 915-1
6254 +500 173 +150/17²+2012 +/-1
5/2( 125/³ + 10017 +30k +4)
125/13 +100 k² + 301-4412
整数であるから、
5k (125K³ frook + 30k+4) 12 sa
倍数である。
従って、
んが5の倍数ではない時
(m)の値は必ず5の倍数にな
証明郷]
1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

5の倍数でないものは 5k+1 の他に
5k+2, 5k+3, 5k+4
で表せるものがありますが、、。

絶対合格

5k＋1しか書いてない場合、丸貰えないですかね...

ととろ

そうですね

もう少しまとめるなら
5k+4 を 5k-1
5k+3 を 5k-2
として、5k±1 と 5k±2 の2つの場合を証明すればいいです

絶対合格

なるほど。考え方教えてくれてありがとうございます