Question

May3

整数の問題です
2行目の倍数の話の意味がわかりません

nから割り切れないし
nが6と互いに素であるとき,n2 を24で割った余りは1であることを示せ.
)x2+5y2=2z2 をみたす自然数x. yの組について次の問いに答えよ.

(3) n互いに素であるとき, k を整数として n = 6k±1 と書ける. このとき
n2_1=(n+1)(n-1) の2つの因数のうち一方が6の倍数であり,さらに,一方は偶数で他方
24=A+1
(n-1)=24A
n+1)(n-1)=29A
0.24
2.12
- 97 -
4.6の組み合わせ

1 整数 (I)
は4の倍数。よって,-1は6の倍数かつ8の倍数であるから,n2-
1は6と8の最小公
倍数である24の倍数である。したがって、nを24で割った余りは1である。他のa

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

トトロ

解説と少し違うかもだけど

nと6が互いに素だから n = 6k±1 とおける
n² = (6k±1)² = 36k²±12k+1
n²-1 = (n+1)(n-1) = 12k(3k±1)

n²-1 が 24 で割り切れることを示せば良いので
k(3k±1)が2の倍数であることを示せば良い
kが偶数なら2の倍数
kが奇数なら 3k±1 は偶数で2の倍数
よって n²-1 は 24の倍数
よって n² を 24 で割った余りは 1

トトロ

解説はもしかしたら
n=6k+1 と n=6k-1 のそれぞれについて
n+1 と n-1 が何の倍数になるか？を
調べて
片方が6の倍数、かつ、
一方が偶数で他方が4の倍数
として証明しているのではないかな？

n=6k+1 の場合だけ書くと
n+1 = 6k+2 = 2(3k+1) ⋯ 偶数
n-1 = 6k ⋯ 6の倍数
kが偶数ならn-1は12の倍数、n+1が偶数だから n²-1 は24の倍数
kが奇数なら 3k+1 は偶数で n+1 は4の倍数だから n²-1 は24の倍数

May3

詳しく教えてくださってありがとうございます。n=6k±1で考えるところや、n²−1を因数分解して倍数を見ていく考え方がよく分かりました

Answer 2

長飛丸とら

1行目で設定している　n=6k±1 を利用しています
このままでもいいですが、分けて考えると
(1) n = 6k + 1 のとき、移項して　
　　n － 1 = 6k
　　つまり　n － 1 は6の倍数

(2) n = 6k － 1 のとき、移項して　
　　n ＋ 1 = 6k
　　つまり　n ＋ 1 は6の倍数

長飛丸とら

追記

偶数になる理由は
n － 1 と n + 1　の差は 2

n － 1 が 6の倍数つまり偶数なら　n + 1　も偶数
n ＋ 1 が 6の倍数つまり偶数なら　n － 1　も偶数