CからABに垂線の足Hを下ろすんです。
正三角形よりHはABの中点。
三角形AHCは30°60°90°の直角三角形になるから1:2:√3を使って
HC=√3AH=√3(AB/2)
内心が重心と一致するから重心の性質より内心 I としてCI:IH=2:1
よってIH=HC×1/3
IHは内接円の半径だからIH=(AB/2)×√3×1/3
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