問題少し違いますが、特性方程式を用いた解法です。
参考にしてみてください。
「高校数学の美しい物語」というウェブサイトに載ってました。
「三項間漸化式」でグーグル検索すると一番上に出てきます。
https://mathtrain.jp/sankoukan
上にリンク張りました。
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