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「zが純虚数⇔z≠0かつz+z̄=0」です
α+1/αが純虚数なので、
(α+1/α)+(ᾱ+1/ᾱ)=0
α+α̅+1/α̅+1/α=0
両辺αα̅倍して
(α+α̅)αα̅+α+α̅=0
(α+α̅)(αα̅+1)=0
αα̅+1=|α|²+1>0なので、両辺αα̅+1で割って
α+ᾱ=0
よって、α≠0かつα+ᾱ=0だからαは純虚数
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