32(1)nは正の整数なので n>0 ・・①
2つの数が互いに素でないと仮定する。
2つの数の最大公約数をgとおくとg>1(gは正の整数)
n^2＝ag,2n+1＝bg(a,bは任意の整数)
次に左辺にn^2と2n+1を使った式をたて、右辺の値が定数となるように式を作ります。
n^2を消すために、2n+1から(2n+1)(2n-1)＝4n^2-1
n^2-(1/4)(2n+1)(2n+1)＝1/4
両辺に4をかけて
4n^2-(2n+1)(2n-1)＝1
4ag-bg(bg-2)＝g(4a-b^2g+2b)＝1
g＝1または4a-b^2g+2b＝1
g>1の条件を満たさないので矛盾。
よってn^2と2n+1は互いに素。
(2)n^2+2＝GA(G,Aは任意の整数)
2n+1＝Aとおく。(n^2+2は2n+1の倍数のため)
n^2を消すために
n^2+2-(1/4)(2n+1)(2n-1)＝9/4
両辺に4をかけて
4n^2+8-(2n+1)(2n-1)＝9
4GA-A(A-2)＝9
4A(G-A+2)＝9
A(4G-4A+8)＝9
Aは9の約数に値する。
A＝1,3,9
2n+1＝Aより、
n＝0,1,4
条件①から
n＝1,4
ありがとうございます
追記
^←これは何乗を意味します。