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cos2θ-3cosθ=a
→ 2cos²θ-3cosθ-1-a=0
cosθ=tとおくと、0≦θ<2πから-1≦t≦1
→ 2t²-3t-1-a=0
→ 2(t²-3/2t)-1-a=0
→ 2(t-3/4)²-17/8＝a…①'
問題は、①が4つの解をもたなければなりません。
では①'は何個の解をもてばいいのでしょうか。
cosθ=tと置き換えました。
t=1のとき、θ=0のみですが、
t=√3/2のとき、θ=π/6,11/6πの2つあります。
何が言いたいかというと、t=1,-1以外のtでは、θの解が2つあるということが言えるのです。
つまり、t(-1<t<1の範囲で)が2つの解をもてば、θは4つの解をもつことが言えます。
①'が-1<t<1の範囲で異なる2つの解をもつ範囲を考えていきましょう。
2(t-3/4)²-17/8=a…①'
y=2(t-3/4)²-17/8 (-1<t<1)…② とy=a…③
が異なる2つの交点を持つためには、
②の最小値が-17/8で、最大値はt=1のときのy=-2
よって、-17/8<a<-2
グラフを添付します
t=cosθ とし、0≦θ<2πの範囲から、
t=±1以外のときのθは2つあります。
上記の説明のときにも書いたように、例として
t=√3/2のとき、θ=π/6,11π/6の2つあります。
さらに、t=-√3/2のとき、θ=5π/6,7π/6の2つあります。
もし、tの解が、±√3/2であった場合、θは、π/6,5π/6,7π/6,11π/6の4つあることになります。
いかがでしょうか。
具体的に説明してくださりありがとうございました！！ずっとモヤモヤしていたことが解決する事ができました本当にありがとうございます！！！！
なぜtが2つの解を持てばθは、4つの解を持つことになるのですか？ここだけがよく分かりません 単位円などを用いて分かりやすく説明して頂けないでしょうか？お願いします🙇♂️