✨ ベストアンサー ✨
f(x)=e^x-(1+x+ax²) とおいて
(fの最小値)≧0
となるようなaの条件を求めればいいです
どういう風に解けば良いのでしょか？
fの最小値を考えたいので微分してみます
f'(x)=e^x-(1+2ax)
これでもよくわからないので、さらに微分してみます
f"(x)=e^x-2a
ここから場合分けですかね
(i)2a≧0 のとき
(ii)0<2a≦1 のとき
(iii)2a>1 のとき
でそれぞれf'がどんなグラフになるか考えてみるといいと思います
2回微分すればよかったのかー
ありがとうございます!!
そのあとが上手く出来ません
やり方教えていただけるとありがたいです
今思えば、場合分けは
(i)2a≦1
(ii)2a>1
の２つでよかったです。(そもそも上のコメントの(i)は不等号の向き逆ですね)
(i)2a≦1, つまり a≦1/2 のとき
x≧0 において
f"(x)≧f"(0)=1-2a≧0
よって、f'(x) は単調増加だから
f'(x)≧f'(0)=0
よって、f(x) は単調増加だから
f(x)≧f(0)=0
よってこのときはどのようなaでも成り立つ
(ii)2a>1 つまり a>1/2 のとき
f"(x)=0 ⇔ x=log(2a)
より、f'(x) の増減表は
x | 0 | ⋯ | log(2a) | ⋯
f" | | － | 0 | ＋
f' | 0 | ↘︎ | | ↗︎
ここで、
f'(log(2a))<0
lim[x→∞]f'(x)=∞
であるから、x>log(2a) の範囲に
f'(α)=0
となる点が存在する
よって、fの増減表は
x | 0 | ⋯ | α | ⋯
f' | 0 | － | 0 | ＋
f' | 0 | ↘︎ | | ↗︎
となり、x≧0 においてつねに f(x)≧0 とはならないため、どのようなaでも不適
(i)(ii) より、求めるaの範囲は
a≦1/2
ありがとうございます!!
何故2aが1より大きいか小さいのかで場合わけをしているのですか？
すみませんなんでもないです笑
f'(a)＝0になるんですか？
そのへんからよく分かりません
(ii)の
> であるから、x>log(2a)の範囲に
> f'(α)=0
> となる点が存在する
の部分のことですか？(αとaを両方使ったのは失敗でしたね)
これはグラフを描くと分かると思います。f'(x)の増減表を基にグラフを描いてみると画像のようになります。そこで y=f'(x) とx軸との交点をαとおいています
あと、その後のfの増減表の三段目がf'になっちゃってますね
x |
f' |
f |
の間違いです
ありがとうございます!!
最後の部分がよく分かりません!!
iiです
ごめんなさい分かりましたw
ありがとうございます!!