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a>0 b>0 p≧3
(1)a+b＝np
ab＝mpとおく(m,nは任意の整数)
b＝np−aより
a(np−a)＝mp
anp−a^2＝mp
a^2＝p(an−m)
よってa^2はpの倍数
pは素数であることから
aはpの倍数
b＝np−a (aはpの倍数だからa＝pl lは整数)
b＝p(n−l)
n−lは整数だから、bはpの倍数
a,bはともにpの倍数である。
(2)a+bはpの倍数・・・①
a^2+b^2＝pkとおく。(kは自然数・・a^2+b^2>0より)
(a+b)^2−2ab＝pk
2ab＝(a+b)^2−pk＝(pn)^2−pk＝p(pn−k)
2abはpの倍数
p≧3の素数だから2とpは互いに素。
abはpの倍数である・・・②
①、②(1)の証明から
a,bはともにpの倍数である。
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