Question

ゲスト

119の⑵がどういう流れで答えを導いたらいいかわかりません。回答よろしくお願いします

背理法による証明

Answer 1

Rya

a、bどちらも3の倍数でないと仮定すると、
a＝3x±1、b＝3y±1(x、yは整数)
a²+b²＝9x²+9y²±6x±6y+2＝3(3x²+3y²±2x±2y)+2
よってa²+b²を3で割った余り2
ⅰ)c＝3k(kは整数)と表せる時、
c²＝9k²＝3(3k²)
よってc²を3で割った余り0
a²+b²＝c²において
左辺を3で割った余り2、右辺を3で割った余り0より矛盾。
ⅱ)c＝3k±1(kは整数)と表せる時
c²＝9k²±6k+1＝3(3k²±2k)+1
よってc²を3で割った余り1
a²+b²＝c²において
左辺を3で割った余り2、右辺を3で割った余り1より矛盾。
ⅰ)、ⅱ)より
a＝3x±1、b＝3y±1(x、yは整数)と表せる時、a²+b²＝c²を満たすcは存在しないから、矛盾。
よって
a、bの少なくとも1つは3の倍数である。

ゲスト

丁寧な解説ありがとうございます😊
もう一つお聞きしたいのですが、3の倍数でないと仮定するときにa,bの表し方なんですが、3x+2などとはならないのですか？

ゲスト

〇〇の倍数ではないときの表し方がよくわからないです

Answer 2

Rya

「少なくとも一つ」の時は大体余事象です。
この場合、背理法で「a、bどちらも3の倍数でない」と仮定します。