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⑴ x^2=t とおくと, k=5 から
x^4-5x^2+4=t^2-5t+4=0 ②
と置き換えられる。よって方程式②を解いて
t=1.4
したがって, x^2=t から x=±√tより
x=±1,±2
⑵ ⑴と同様に
x^4-kx^2+4=t^2-kt+4=0 ①'
と置く。方程式①'の解は,解の公式より
t={k±√(k^2-16)}/2
となる。よって方程式①の解は, x=±√t より
x=±√[{k±√(k^2-16)}/2]
となる。
ここから方程式①の解が異なる4つの実数解を持つ時のkの値の範囲について考える。kが実数ならば
|k^2|>|k^2-16| ③
から
k+√(k^2-16)≠0
k-√(k^2-16)≠0
が成り立ち、かつ
k+√(k^2-16)≠k-√(k^2-16)
√[{k±√(k^2-16)}/2]≠-√[{k±√(k^2-16)}/2]
から,方程式①が異なる4つの実数解を持つためには
k^2-16>0 ④（方程式①'の判別式 D>0 ）
k±√(k^2-16)>0 ⑤（方程式①の平方根の
中身が0より大きい）
が示せれば良い。不等式③から
k<-4,4<k ⑥
不等式⑤からさらに
k+√(k^2-16)>0 ⑤'
k-√(k^2-16)>0 ⑤"
この2式はいずれにおいても
k>±√(k^2-16)
k^2>k^2-16
16>0
となるのだが,まず⑤'について, k についての条件式⑥を考慮に入れながら考えてみると,
4<k においては間違いなく⑤'は成り立つのだが, k<-4 においては
k+√(k^2-16)<0
が成り立つため,⑥と⑤'を同時に満たすのは
4<k のみとなる。次に⑤"について,⑤'と同様にすると,③から 4<k については間違いなく⑤"は成り立つのだが, k<-4 においては
k-√(k^2-16)<0
が成り立つため,⑥と⑤"を同時に満たすのは
4<k のみとなる。
以上より,求めるkの値の範囲は
4<k
⑶ ⑵から方程式①の異なる4つの実数解を小さい順に並べると以下の様になる。
-√[{k+√(k^2-16)}/2]
-√[{k-√(k^2-16)}/2]
√[{k-√(k^2-16)}/2]
√[{k+√(k^2-16)}/2] (4<k)
ここで4つの異なる実数解を数直線上にとった時に,隣り合う点との距離が全て等しくなるため,以下の式が成り立つ。
-√[{k-√(k^2-16)}/2]+√[{k+√(k^2-16)}/2]
= √[{k-√(k^2-16)}/2]+√[{k-√(k^-16)}/2]
= √[{k+√(k^2-16)}/2]-√[{k-√(k^2-16)}/2]
この式から以下の連立方程式が成り立つ。
-√[{k-√(k^2-16)}/2]+√[{k+√(k^2-16)}/2]
= √[{k-√(k^2-16)}/2]+√[{k-√(k^-16)}/2]
√[{k-√(k^2-16)}/2]+√[{k-√(k^-16)}/2]
= √[{k+√(k^2-16)}/2]-√[{k-√(k^2-16)}/2]
まず１つ目の方程式について解くと
√[{k+√(k^2-16)}/2]=3√[{k-√(k^2-16)}/2]
両辺を2乗して
{k+√(k^2-16)}/2=9×{k-√(k^2-16)}/2
両辺を二倍して
k+√(k^2-16)=9×{k-√(k^2-16)}
8k=10√(k^2-16)
両辺を2乗して
64k^2=100(k^2-16)=100k^2-1600
36k^2=1600
k^2=1600/36=400/9 4<k より
k=20/3
次に２つ目の方程式について解くと
√[{k+√(k^2-16)}/2]=3√[{k-√(k^2-16)}/2]
１つ目の方程式と同じ式になるので
k=20/3
よって条件を満たす k の値は, k=20/3 である。この時,方程式①の解は
x=±√[{20/3±√(400/9-16)}/2]
=±√[{20/3±√(400/9-144/9)}/2]
=±√[{20/3±√(256/9)}/2]
=±√{(20/3±16/3)/2}
=±√{(36/3)/2},±√{(4/3)/2}
=±√(36/6),±√(4/6)
=±√6,±√(2/3)
=±√6,±√6/3
よって求める解は
k=20/3
x=±√6,±√6/3
こんなに…😭😭ありがとうございます