この問題を言い換えると、
「(aが求める範囲内にある)⇒全ての実数xに対しx²-3x+2>0またはx²+ax+1>0の少なくともどちらかが満足される」です。
「少なくとも」というのは数学では扱うのが難しいので、書き換えます。上の命題の対偶をとりましょう。
「x²-3x+2≦0かつx²+ax+1≦0を同時に満たすxが存在する⇒(aが求める範囲内にある)」です。
この命題が真になるようなaの範囲を求めてあげれば良いです！
今回２つともグラフは下に凸ですよね？つまりWみたいな形になるわけです(伝われ)
このWの交点のところが≦0にあればいいと思いませんか？
同時に満たすっていうのは、どうやって解くんですか？