Question

ワット

(1)と(2)の両方がわかりません。
教えてください！

複素数平面

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
x=1のとき、
1+a-1+2a²-a-2a²=0となるので、
x=1はこの三次関数の解である。
よって、
与式=(x-1)(x²+ax+2a²)=0
と因数分解できる。
x²+ax+2a²=0の解は共役な複素数なので、
解をz,z⁻(zバ－だと思ってください)とすると、
z,z⁻は同一円周上にあるので、
|z|=1がいえ、さらに
|z|²=1
→　z×z⁻=1
また、解と係数の関係から、
z+z⁻=-a,z×z⁻=2a²から
2a²=1　より
a=±1/√2

きらうる

(2)
(1)からx²+ax+2a²=0の解がz,z⁻より、
z²+az+2a²=0　
→　z²=-az-2a²　が言えるので、z⁴+z²に代入すると
z⁴+z²
=(z²)²+z²
=(-az-2a²)²+(-az-2a²)
=a²z²+4a³z+4a⁴-az-2a²
=a²(-az-2a²)+4a³z-az+4a⁴-2a²
=(3a³-a)z+2a⁴-2a²
zは複素数なので、z⁴+z²が実数のなるためには、
3a³-a=0　であればいい。またaは0でないので、
→　3a²-1=0
→　a=±1/√3

ワット

わかりやすく教えていただき、
ありがとうございました。