二直線の交点のx座標について、
8(x-1)/(x-2)=mx
8(x-1)=mx(x-2)
mx²-2(m+4)x+8=0⋯①
判別式を計算すると
(m+4)²-8m=m²+16>0
より①は異なる二実数解をもつ
①の二解をα, βとすると
α+β=2(m+4)/m
αβ=8/m
Pを通りx軸に平行な直線とQを通りy軸に平行な直線との交点をRとします
直線PQの傾きはmなので、三角形PQRは
PR:RQ:PQ=1:m:√(m²+1)
の直角三角形です。よって、
PQ=√(m²+1)×PR
=√(m²+1)×|α-β|
ここで、
|α-β|=√(α-β)²
=√{(α+β)²-4αβ}
=√[{(2(m+4)/m}²-4•8/m]
=2√{(m²+16)/m²}
なので
PQ=√(m²+1)×2√{(m²+16)/m²}
=2√{(m²+1)(m²+16)/m²}
=2√{(m⁴+17m²+16)/m²}
=2√(m²+16/m²+17)
m²>0, 16/m²>0 なので、相加平均•相乗平均の関係より
m²+16/m²≧2√(m²•16/m²)
=8
等号は m²=16/m² すなわち m=±2 のときに成り立つ
したがって、
PQ≧2√(8+17)=10
なので、PQの最小値は10
