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(1)の参考に書いてることは、すなわち、y=-x^2+2axの0≦x≦2における最小値を求めるということですね。
y=-(x-a)^2+a^2まではわかると思います。この放物線の軸はx=aで頂点は(a,a^2)です。
この放物線は、軸がx=aという文字なので、定数で固定されてないですね。だから、aは自由に色んな値をとれます。a=0にもa=1にもa=2にもa=100にもなり得ます。この時にどんなaをとったときに最小値になりますか？という風に聞かれています。
では、このaを動かしていきます。(aの値を大きくして、どんどん軸を正の方向に動かすということ。)
写真が3枚までしかとれないので一旦送ります。3枚目だけ横向きでごめんなさい。
答え
a＜1のときx=2で最小値をとる
よって、y=-x^2+2axにx=2を代入して4a-4
a=1のときx=0,2で最小値をとる
よって、y=-x^2+2axにa=1,x=0を代入してy=0(x=2を代入しても同じ答え)
a＞1のとき、x=0で最小値をとる。よって、y=-x^2+2axにx=0を代入してy=0
(2)も上に凸のときの最大値なので、これと同じことです。
わかりやすくするために5段階に分けたのですが、実際の問題を解くときは、x=0,2,0と2の両方,で最小値をとる3つの場合だけ書けばいいです。だから、軸が範囲外だとしても、範囲内のx=1よりも小さいところだとしても、x=2で最小値をとることには変わりがないので、x=2で最小値をとる場合を1つだけ解答欄に書けばいいです。同じように、x=0で最小値をとる場合も、軸の範囲内のx=1よりも大きいところでも、軸の範囲外でもどっちでもx=1よりも大きな場合であれば、x=0のときに最小値をとるので、1つだけ書けばいいです。
類似問題の解答例を書いておきます。
なるほど！ありがとうございましたm(*_ _)mm(*_ _)mm(*_ _)mm(*_ _)m
最初は、青の範囲内では明らかにx=2のときに最小値をとっています。しかし、3枚目のときにだいたいx=0とx=2で同じくらいのyの値をとっていて、それ以降はx=0のときに最小値をとっています。
すなわち、3枚目の前後で最小値をとるときのxの値が変わっているのがわかりますね。
ではそのときのxの値は何でしょうか。放物線は軸に対して対称ですね。例えば、中学の復習になりますが、y=2x^2において、yが8ならばこのときのxの値は何ですか？x=2と-2ですよね。x=0すなわちy軸が軸なので、yの値が同じときは、y軸に対して対称なxをとります。
これと同じように、今もx=0とx=2でy座標が等しい点を考えているので、ちょうど軸であるx=aはこのときx=0とx=2の間のx=1をとっているはずです。x=1が軸ならばx=0とx=2が、ちょうど軸に対して対称になりますね。
これでわかったかと思います。x=1よりもaが小さな時は1＞aの範囲で値は変わるけど、0≦x≦2の範囲での最小値は必ずx=2のときのyの値になるし、x=1よりもaが大きな時は1＜aの範囲で値は変わるけど、0≦x≦2の範囲での最小値は必ずx=0のときのyの値になる。x=1のときはちょうどyの値がx=0のときと2のときで同じになって、それが最小値になるので2つともが答えである。ということです。これが友達の言ってた、間よりも右とか左とかの話です。