与式は、初項x²+x, 公比1/(x²+x+1)の無限等比級数。
なので、
-1<1/(x²+x+1)<1
⇔x²+x+1<-1または1<x²+x+1
であれば収束する。・・・①
ここで、初項x²+xに注目すると、x(x+1)より、x=0または-1のとき、各項が0になるためx=0,-1のときも収束する。・・・②
①に②を加味して、x≦-1, 0≦x
になると思います。
雑でごめんね
えと、⇔の変換のところですか？それとも解を出すのが難しいですか？（何度も聞いてしまってごめんなさい🙇♂️）
あ、変換のところです🙏
okです。
(i)
感覚的に理解納得する場合。
仮に、-1<1/k<1が成り立つとき、この|k|は1よりも大きくなければならないのはわかりますか？
たとえば、|k|>1であるk=2のとき、1/k=1/2=0.5より、-1<k<1を満たします。
逆に|k|<1であるk=-0.4のとき、1/k=1/(-0.4)=-2.5より、-1<k<1を満たしません。
これに準じて、
-1<x²+x+1<1 ⇔ |x²+x+1|>1 ⇔ x²+x+1<-1, 1<x²+x+1
(ii)
数式の変形で理解納得する場合。
さっきのコメントではかなり大雑把にしてしまったのですが、詳しく行きます。
1/x²+x+1≠0
なのはわかりますか？1/xが絶対に0にならないのと同じです。
なので、-1<1/(x²+x+1)<1は、本当は、(x²+x+1)≠0をつけるか、
-1<1/(x²+x+1)<0,0<1/(x²+x+1)<1
と表記しなければいけません。
-1<1/(x²+x+1)<0のとき、(x²+x+1)<0なので、
-(x²+x+1)>1>0 ⇔ (x²+x+1)<-1・・・①
0<1/(x²+x+1)<1のときは普通に、
0<1<(x²+x+1) ⇔ 1<(x²+x+1)・・・②
①,②より、
(x²+x+1)<-1, 1<(x²+x+1)
って感じです
長いし見にくいけどホントごめんね🙏
-1<1/(x^+x+1)<1⇔x^+x+1<-1または1<x^+x+1のところ上手く計算できないんですけど、、