Question

幹人

定積分と不等式についてです。
(1)は解けました。
(2)は(1)を利用しそうな感じがするのですが、不等式成立を示す時、数学的帰納法によって証明すれば良いのでしょうか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

@Ganymede＋

(1)の等式でk=2からnまで和をとります。

証明ではないですが、メモ書きしたので参考に。
誤りがあったら教えてください。

ちなみにこの問題(というか不等式)はスターリングの公式に関連していて、
階乗の近似を考えるうえで大切です。

スターリングの公式を使うと、
n!~√{2πn}(n/e)^n
であり、n!はn^(n+1/2)のオーダーなので
(2)の不等式が成り立つことはすぐわかります。

@Ganymede＋

（訂正）
面倒なので厳密に確認しませんが
最後の方の積分の計算イコールになってないですね。
確認して直してみると勉強になると思います。

@Ganymede＋

（訂正）
あと色分けした図も微妙に間違ってますね。sorry

幹人

理解できました。
ご丁寧な説明ありがとうございました！