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a(n+1)=2an + n…①
an = 2a(n−1) + (n−1)…② なので、
①−②より、a(n+1) − an = 2{an − a(n−1)} +1
bn = an − a(n−1) とおくと、b(n+1) = 2bn +1
これを変形して、b(n+1) +1 = 2(bn +1)
cn = bn +1 とおくと、c(n+1) = 2cn
c2 = b2 +1 = a2 − a1 +1 = (2a1 +1) −a1 +1 = 4
よって、cn = c2・2^(n−2) = 2^n
bn = cn −1より、bn = 2^n −1
an − a(n−1) = bn より、
an − a(n−1) = 2^n −1 = 2・2^(n−1) −1
よって、 n−1
an = a1 + Σ (2・2^k −1)
k=1
= 2 + 4{2^(n−1) −1} −(n−1)
= 2^(n+1) −n −1
間違ってたらすみません。
忘れていましたが、上の解答はn≧2の場合で考えました。n=1を代入すると、a1 = 2 が導かれるので、
n=1の場合も問題なく成り立ちますが、この一連の確認を記述する必要はありますので、ここで補足しておきます。
解答の流れを一応簡単に説明しますと、与えられた漸化式にnの1次式が含まれていますが、1つずらした
漸化式との差をとることによって、nの式を消去することができるという点を利用してます。
その後は、特性方程式を用いた変形などにより、
階差数列の形の漸化式に帰着させて数列を求める
ことができます。
等比数列の和の公式を用いました。
(等比数列の和)
= (初項) × {(公比)^(項数) −1 } / {(公比) −1}
ここでは、数列{2・2^k}の初項から第(n−1)項までの
和を求めていて、ここで出てきた4は初項の部分を表しています。ちなみに、(公比) −1 の部分は、この数列では1になるので、解答では省略しています。
追加で説明を加えさせてください。
2段落最後の式の変形で、「2^n」を「2・2^(n−1)」と変形したところもわかりにくいかもしれませんが、
数式をan −a(n−1) = {(n−1)の式} と変形することによって、階差数列の形に持ち込むためです。
そのまま2^nでΣの計算をすると、項が1つずれてしまうのでそこは気をつけてください。
何度もすみません。C(n+1)＝2cnと、そのあとの行が理解できないのですが、解説お願いできますでしょうか...?
c(n+1)=2cn と表されたので、数列{cn}の公比は2となります。よって数列の一般項を出すためには、cnのいずれかの項の値が必要です。
cnの文字の置き方を遡ると、cn = an − a(n−1) +1
となるので、n=2を代入すると、c2 = a2 − a1 +1
最初の漸化式より、a2 = 2a1 + 1
さらに、a1 = 2 なので、a2 = 5
よって、c2 = 5 −2 +1 = 4 と求まります。
cn の項は、c2 の項を(n−2)回公比をかけたものだと言えるので、cn = c2・2^(n−2) = 2^n となります。
ここで、n=1を代入しないのは、a0 が定義できないからです。a(n−1)が定義できるn≧2の中で、最も小さいc2 の値を求めました。
やっと理解出来ました！ありがとうございます！これで次は間違えなさそうです！w
すごい...あってます！！！ありがとうございます！