Question

AYUO

任意の辺の長さと高さが自然数である三角形の面積を割り切る最大の自然数を求めよ。

この問題のどこから手をつけて良いのかわかりません…

整数

Answer 1

gößt

とっかかりとしては、具体的な三角形を探して条件を満たす自然数の候補をしぼることではないでしょうか。私はいくつかの三角形で試しているうちに解答までたどり着きました

AYUO

なるほど。具体例ですね…試してみます

gößt

頑張ってください(｀・ω・´)

AYUO

正三角形、二等辺三角形、直角三角形はどれもダメで、不等辺三角形もなかなか見つかりません…

gößt

やっぱり三辺の長さが全て整数の三角形がすぐに思いつきやすいんじゃないですかね

三辺の長さが3,4,5の直角三角形を考えると、高さはそれぞれ4,3,12/5になります。これだと高さが自然数にならないので、全体を5倍して15,20,25の三角形を作れば高さも自然数になりますね

私の場合は、他に5:12:13の直角三角形と13:14:15の鋭角三角形で調べてみてだいたいの見当をつけました

Answer 2

タケハル

「ヒント」ヘロンの公式を使ったら、解けるような気がします。（間違っていたらごめんなさい）

AYUO

3辺の長さをa,b,cとし、底辺をa,b,cとした時の高さをx,y,zとすると、三角形の面積Sはヘロンの公式よりs=(a+b+c)/2と置いてS=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
また、2S=ax=by=cz

ここまでの関係を表すことができますが、これより先が手詰まりです…