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AH:HB=t:1-t と置いてみましょう。
ベクトルa をvec aのように表記しますね。
するとvecOH=(1-t)vecOA+tvecOB
ここでvecOHとvecABは垂直ですので内積は0です。
よって内積=0の式にvecaの大きさvecbの大きさと(1)で求めたvecaとvecbの内積を放り込んでやったらtが求まるので、AH:HBが求まることになります。

(^^)

ありがとうございました😊

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