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(2)なのですが、n=2のときでも成立すると思いました。
私がよくやる手法としては、確率の問題は図を書いて採点者にどのように数えて立式したかを伝えるように心がけていました。
ご指摘有難うございます。そうですね。
左側のn≧2に引っ張られて思わず3としていますが、n=1でも成立することを確認していますから、本来はn≧2とすべきでした。また問題でもnを2以上の整数としていますから、やはりn≧2が答えとして最も相応しいですね。
この場合、図とは下のようなものを想像しましたが、おおよそ同じでしょうか。
XはB,C,Dのどれかが入るという意味です。
やはり、初手で場合分けをしますよね。イメージや感覚に慣れるべく、幾度となく先生に話しを伺ったのですが、僕は、これがどうも合点がいきません。つまるところ、直前が何であるかという場合分けと同じことなので、そちらで考えるようにしていますが、どうも僕は初手の場合分けと相性が悪いようです。全く困った性分です笑
この図の違いは立てる漸化式の見ている視点の違い、巨視的か微視的かの違いだと理解していますが、つまり、漸化式で用いられている数列が、k回連続で条件を満たすような確率なのか、単にk番目にある確率なのかという違いによるものだと理解してしますが、それであっているでしょうか。
初手場合分け必須だと思いましたが。
たぶん、最初の方の前提条件における考え方は全く同じと伺えます。
で、先ほどの図を元に場合分けすると、
求める確率をpnとする。
nを3以上の整数としてn回さいころを投げ、文字列の左からn番目の文字がAとなるのは、
i)1回目で左端にAAを書き(確率1/2)、かつ、残りの文字列の中で左からn-2番目の文字がAとなる(確率p(n-2))
ii)1回目で左端にX(B,C,Dの何れか)を書き(確率1/2)、かつ、残りの文字列の中で左からn-1番目がAとなる(確率p(n-1))のいずれかの場合に限られ、i)とii)は排反であるから、
pn=1/2(pn-2)+1/2(pn-1)
が成り立つ。
こんな感じですかね。
言っていることがよくわかりませんが、私は後者のk番目にある確率という視点を選びましたね。
というのも、(2)でn=2は空事象の確率であるからq2=0であるとして、AABとなる確率であるq3=1/2*1/6-=1/12のもとで(1)と同様にqn=1/2q(n-2)+1/2(n-1)を解きたいと考えたのが理由ですね。