Question

しん

教えてください🙇‍♂️

WC+2M+さ=ォae 。 56
ERNENYパアイで2
を正の実数とするとき, 不筐式           を証明せよ。(25 点)
すさ

 

5

ay      RS    細了ot    (京海洋大)

。IチAa        (ます7     相補第も急そ       色
9            0 で        の5も4ク

いわ            去+放*

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

不等式を2つに分けて証明します
・左側
相加・相乗平均の関係式から
x+y≧2√xy ↔︎ (x+y)/2 ≧ √xy -①

・右側 (左辺-右辺≧0 を示す)
√xy - 2/(1/x+1/y)
= √xy -2xy/(x+y)
= √xy{1- 2√xy/(x+y)} (√xyをくくる)
= √xy{(x-2√xy +y)/(x+y)} (通分)
= √xy{(√x-√y)²/(x+y)} ≧0
よって √xy ≧ 2/(1/x+1/y)-②

①、②より証明されました

鹿

右側は相加・相乗平均の方が楽でしたね
1/x + 1/y ≧ 2/√xy
↔︎ √xy ≧ 2/(1/x + 1/y)

しん

ありがとうございます！
助かりました🙇‍♂️