✨ ベストアンサー ✨
まずは重要な事項を確認しておきましょう.
a, bが有理数, √qが無理数でa+b√q=0が満たされるとき, a=b=0である.
[証明]
b≠0と仮定すると √q=-b/aとなるが, √qが無理数, -b/aが有理数なので不合理.
b=0ならばa=0であることが必要. 逆にa=b=0ならば, √qに限らずa+b√q=0が成り立つので命題は示された.
***
42(1)
a+b√11=c+d√11⇔(a-c)+(b-d)√11=0
b-d≠0と仮定すると√11=(c-a)/(b-d)と書けるが, 左辺が無理数, 右辺が有理数なので不合理.
したがってb-d=0⇔b=dであることが必要となる. このときa-c=0となるのでa=cかつb=dが命題の必要条件である.
逆にa=cかつb=dならば(a-c)+(b-d)√11=0+0√11=0となって十分性も示された.
***
42(2)
(1+√11)x-(3-5√11)y+7-√11=0⇔(x-3y+7)+(x+5y-1)√11=0と書き換えることが出来る.
(1)の事実からx-3y+7=0かつx+5y-1=0が言え, この連立方程式を解くとx=-4,y=1と求まる.
***
他のもう少し歯ごたえのある問題(京大の過去問が役に立つでしょう)にチャレンジして完全に理解できているか確認しましょう.
ありがとうございます!!!!!