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こんにちわ. 23は剰余定理の問題, 26は3次方程式の解の問題です.
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23. まずは準備です.
P(x)がx-αを因数に持つならP(x)=(x-α)Q(x)と書けます. この時P(α)=(α-α)Q(α)=0
これはP(x)を(x-α)で割ったときの余りが0[1次式で割った余りは定数]というように考えることもできますね[因数定理は剰余定理の特殊例].
P(x)を2次式ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)で割った商をQ(x), 余りをR(x)=cx+d [２次式で割った余りは1次式ですよね.]とすると
P(x)=a(x-α)(x-β)+cx+d
が成り立ちます. x=αのときP(α)=cα+d, P(β)=cβ+dとなってα, β[α≠β]とそれに対応するP(α), P(β)の値が与えられていれば
c(α-β)=P(α)-P(β)⇔c={P(α)-P(β)}/(α-β), これを元の式に代入することでdが得られます.
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[解答例]
多項式P(x)を2次式(x-5)(x+1)で割った商をQ(x), 余りの1次式をax+bとすると.
P(x)=(x-5)(x+2)Q(x)+ax+b
P(x)をx-5で割った余りが6, x+2で割った余りが-1なので剰余定理から
P(5)=5a+b=6, P(-2)=-2a+b=-1
これを解くと(5a+b)-(-2a+b)=6-(-1)⇔a=1, b=6-5a=1
以上から求めるべき余りはx+1である.
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26. "実係数"3次方程式の解は実数解3個, もしくは実数解1個, 共役な虚数解1組[2個]に限られます.
後者の場合は
x^3+ax^2+bx+c=0が虚数解αをもつならばα^3+aα^2+bα+c=0が成り立つ.
このときα*^3+aα*^2+bα*+c=(α^3+aα^2+bα+c)*=0 [*で共役を表しました. 実数の共役はそれ自身であることに注意.]
が成り立つのでα*もx^3+ax^2+bx+c=0の解になる.
として証明できます[大事な基本事項なので試験で証明を尋ねられることがあります].
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実係数の3次方程式x^3-3x^2+ax+b=0が1-3iが解に持つならば, 共役である1+3iも解である.
したがってx^3-3x^2+ax+bは(x-(1-3i))(x-(1+3i))=x^2-2x+10を因数にもつ
[技術的にはx=1-3i⇒(x-1)^2=(-3i)^2⇔x^2-2x+10=0として求めることが出来る].
残りの実数解をαとするとxについての恒等式
x^3-3x^2+ax+b=(x-α)(x^2-2x+10)
が成り立つ. 各次数について比べると
x^2: -3=-α-2, x^1: a=2α+10, x^0: b=-10α
これを解くとα=1, a=2*1+10=12, b=-10*1=-10
以上をまとめてa=12, b=-10, 他の解は1と1+3iである.
すごくわかりやすいです!
助かります！ありがとうございました！