以下の問題で判別式をDとします。
与式:y=a^2+bx+cとし、以下の問題で判別式DをD=b^2-4ac とする。
大門4
(1)y=2x^2-3x…①、y=kx-2…②
①②より、yを消去して、
2x^2-3x=kx-2
2x^2-(3+k)x+2=0…③
判別式Dより、
D={-(3+k)}^2-4×2×2
=9+6k+k^2-16
=k^2+6k-7
ここで、放物線と直線が接すると問題に書いているので、共有点は1個ということになります。共有点が1個ということはD=0を求めればいいことになります。
D=0より、
D=k^2+6k-7=0
(k+7)(k-1)=0
k=-7、1
k=-7のとき:
③にk=-7を代入します。
2x^2-{3+(-7)}x+2=0
2x^2+4x+2=0
x^2+2x+1=0
(x+1)^2=0
x=-1
x=-1を①に代入します。
y=2(-1)^2-3(-1)
=5
接点の座標は、(-1,5)
k=1のとき:
③にk=1を代入します。
2x^2-(3+1)x+2=0
2x^2-4x+2=0
x^2-2x+1=0
(x-1)^2=0
x=1
x=1を①に代入します。
y=2×1^2-3×1
=-1
接点の座標は、(1,-1)
よって、k=-7のとき、(-1,5)
k=1のとき、(1,-1)
(2)y=-x^2+7x-4…④、y=kx…⑤
④⑤より、yを消去して、
-x^2+7x-4=kx
x^2+(k-7)x+4=0…⑥
判別式Dより、
D=(k-7)^2-4×1×4
=k^2-14k+33
(1)と同様に考えて、
D=0より、
D=k^2-14k+33=0
(k-11)(k-3)=0
k=11、3
k=11のとき:
⑥にk=11を代入します。
x^2+(11-7)x+4=0
x^2+4x+4=0
(x+2)^2=0
x=-2
x=-2を④に代入します。
y=-(-2)^2+7(-2)-4
=-22
接点の座標は、(-2,-22)
k=3のとき:
⑥にk=3を代入します。
x^2+(3-7)x+4=0
x^2-4x+4=0
(x-2)^2=0
x=2
x=2を④に代入します。
y=-2^2+7×2-4
=6
接点の座標は、(2,6)
よって、k=11のとき、(-2,-22)
k=3のとき、(2,6)
大門5
y=x^2+4…①、y=2x+k…② とする。
①②より、yを消去して、
x^2+4=2x+k
x^2-2x+4-k=0
ここで、①②が共有点をもつ条件を考えます。
共有点をもつということは1個か2個の場合があります。1個の時なら D=0、2個なら D>0 です。1個と2個両方の場合はD≧0になります。
判別式Dより、
D=(-2)^2-4×1×(4-k)
=4(k-3)
D≧0より、
4(k-3)≧0
3≦k
kが2、1、0、-1、-2、… となると4(k-3)は負の数になります。k=3のときは 0 になりますが、≧なので、0 は含みます。
次の問題の答え、解説は間違ってる可能性が高いです。解説は問題集に載っている解説とは全然違うと思います。その辺はご了承ください。これ以外の問題もその可能性があります。
大門6
y=ax+2bx+c…①
(1)a
図のグラフは下に凸のグラフなので、aは 正 になります。(aが負なら上に凸のグラフになります。)
(2)b
まず、cを考えます。①にx=0を代入します。
すると、y=c になります。
c はグラフより、x軸より下にあるので 負 になります。
a、c の正、負 がわかったので、b について考えていきます。
ここで、実際に数字を当てはめた式を考えてみたいと思います。
A、Bのグラフを考えてみたいと思います。
A:y=2x^2+4x-2
平方完成すると、
y=2(x+1)^2-4
Aの頂点は(-1,-4)
この頂点は第3象限にあります。
図のグラフの頂点は第4象限にあるのでAは不適です。
B:y=2x^2-4x-2
平方完成すると、
y=2(x-1)^2-4
Bの頂点は(1,-4)
このグラフの頂点は第4象限にあります。
図のグラフは第4象限にあるので、Bは適切です。
よって、bは負になります。
(3)b^2-ac
aは 正 、b は 負 、cは 負 より、
負^2 は 正 になるので、
b^2 は 正 です。
ac は正×負 なので、負になります。
-ac は -(負) なので、正 になります。
よって、b^2-ac は 正+正 なので、正です。
(4)a+2b+c
y=f(x)=ax^2+bx+c とする。
f(0)=c<0
c は負なので、c>0 になります。
よって、a+2b+c は 正 になります。
(2) が間違えてる可能性が本当に高いです。その問題を間違えると他の問題も間違えてしまいます。
(4) は多分間違えてます。
分かってないのに問題に答えてしまいすみません。
もしよければ答えを教えていただけると嬉しいです。
