✨ ベストアンサー ✨
正しい証明と言えるかわかりませんが、解答を作ってみました。
(1)のように方針が定めにくい証明問題は、背理法がうまく機能することがあります。自分はMの要素が有限個であることに着目して矛盾を導きました。
(2)は最後に出てくる複素数がαそのものであることを
証明できれば良さそうです。正体がαであることに気づければ、方針を定められると思います。
(1)、(2)ともに論理的に問題がある箇所もあるかもしれないので、そのときは訂正します。間違ってたらすみません。
ありがとうございます。模範解答がこうなのですが、チャートさんの回答にもあるように、条件bから、どうして、α^kというものが出てくるのでしょうか？そこから教えていただけるとありがたいです。(2)は、普通にド･モアブルの定理を用いれば解ける問題ですよね？
まずは集合Mの定義をよく理解することが大事です。
Mの集合の条件(b)の内容は、「2つの要素が与えられれば、その積もMの要素となる」ということです。
(もちろん特に指定がないので、2つの要素というのは同じものを選んでもいいことになります。)
なので、αがMの要素であるなら、2つのαの積α^2 も
Mの要素であり、α^2 とαの積α^3 もMの要素になります。
このように新しく出来たMの要素にαをかけるという操作をくり返すと、α^4、α^5、α^6 … というふうに
αの自然数のべき乗が全てMの要素であることが言えます。
α^k (k=1、2、…)がMの要素であるというのは以上のことをまとめた表現になっています。
(2)の自分の解答では、nが最小となるとき l も最小値をとると言いきってしまいましたが、根拠が不十分でした。難解だと思いますが、模範解答の方を参照してください。
特に模範解答で証明されている次の命題は、有名事項でもあるので、できれば理解して、余裕があれば証明の流れを抑えてしまうのもいいと思います。
「a、bが互いに素であれば、ax+by=1 を満たす整数の組(x、y)が存在する。」
わかりやすい説明ありがとうございます！今後の参考にして行きたいと思います！
見にくい箇所がありそうなので、拡大したものも載せます。