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まずは初等幾何的に解いてみます.
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(1)三角形ACDは∠ADC=90°の直角三角形です.
三平方の定理からAC=√{1^2+(√3)^2}=2.
cos(∠CAD)=AD/AC=√3/2から∠CAD=30°
これはACとADのなす角である.
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(2)直方体の対面は平行であることに注意する.
AD∥EHかつAD=EHなのでABとEHのなす角はABとADのなす角と等しい.
ABとADは直交しているので求める角は90°
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(3)(2)と同様に考えると, EGとBCのなす角はACとBCのなす角に等しい.
cos(∠ACB)=BC/AC=√3/2⇔∠ACB=30°
これがEGとBCのなす角である.
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ベクトルを使って解くことも出来ます. この問題では遠回りですが, 他の問題では有用な時があります.
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空間上のベクトルは直交する3ベクトルであるAB, AD, AEを用いて表すことが出来る.
(1)ACとADのなす角をθとする.
直方体の性質からAC=AB+BC=AB+ADと表せるので
AC・AD=(AB+AD)AD=AB・AD+|AD|^2=|AD|^2
⇔cosθ=|AD|^2/|AC||AD|=|AD|/|AC|=√3/(√(1^2+(√3))^2)=√3/2
⇔θ=30°.
(2)EH=ADと表せるからAB・AD=0
したがってABとEHのなす角は90°
(3)EGとBCのなす角をθとする.
直方体の性質から
EG=EF+FG=EF+EH=AB+AD, BC=AD
と表せるから
EG・BC=(AB+AD)・AD=AB・AD+|AD|^2=|AD|^2
cosθ=|AD|^2/|EG||BC|=|AD|^2/|AD||AC|=|AD|/|AC|=√3/2
⇔θ=30°.
ベクトルの説明までありがとうございます！
参考にさせていただきます🙇🏻♂️