Question

かず

ーにおいて、ーだからー
というのは、どう考えているのですか？
どれを比較するのか代入？とかまず、何をやっているか分かりません、
写真は、問題 。その答え。次の問題。です。

< /
⑨⑰す</ 1 十sin*ェ

医Ri2z <1より, 110<1+sin2zく相骨

5)ち。1ミ1本sin2ァこう2であるから
前 、

Answer 1

LUX SIT

まず解答は雑すぎます. 入試でこのような答案を出せば間違いなく減点されます.
考え方ですが, f(x)が直接積分できない場合, "積分区間で"g(x)<f(x)<h(x)を満たす不等式を探します.
このとき∫g(x)dx<∫f(x)dx<∫h(x)dxという不等式が成り立ちます.
例えば0≦x≦1で√x, x, x^2を比較すると[自分で図を書いて見ましょう. どこが面積に相当するか考えよう.]
x^2≦x≦√x[x=0,1のみ等号, 開区間を考えると悩む必要はない]なので
∫[0->1]x^2dx<∫[0->1]xdx<∫[0->1]√xdxがいえるわけです.
***
(1)1/{1+sin^2(x)}をそのまま積分できないので比較対象を探します.
分かりやすいsin(x)から不等式を作り, これを利用して被積分関数の不等式を作っていく, という考え方です.
***
積分区間0≦x≦1[<π/2]でsin(x)は単調増加関数なので
sin(0)≦sin(x)≦sin(1)<sin(π/2)⇔0≦sin(x)<1がいえる.
積分区間でsin(x)≧0だから0^2≦sin^2(x)<1^2
⇔1+0^2≦1+sin^2(x)<1+1^2⇔1/(1+1^2)<1/{1+sin^2(x)}≦1/(1+0^2).
したがって0≦x≦1において1/2<1/{1+sin^2(x)}≦1という不等式が成り立つことが分かった.
ここで右辺の等号がx=0のみであることに注意すると[x=0以外では1が被積分関数より常に上にある].
∫[0->1](1/2)dx<∫[0->1]dx/{1+sin^2(x)}<∫[0->1]dx
⇔1/2<<∫[0->1]dx/{1+sin^2(x)}<1
となって, 所望の不等式を示せた.
***
(2)0≦x≦1/2で1-x^3≦1[1から正の数を引く]なので1≦1/√(1-x^3)がいえる.
また(1-x^3)-(1-x^2)=x^2(1-x)だから,
0≦x≦1/2では(1-x^3)≧(1-x^2)⇔1/√(1-x^3)≦1/√(1-x^2)がいえる.
以上から0≦x≦1/2で不等式1≦1/√(1-x^3)≦1/√(1-x^2)が成り立つことが分かった.　
ここで等号成立がx=0のみであることに注意すると[これも(1)と同じ論理です].
∫[0->1/2]dx<∫[0->1/2]dx/√(1-x^3)<∫[0->1/2]dx/√(1-x^2)
⇔1/2<∫[0->1/2]dx/√(1-x^3)<∫[0->π/6]cos(θ)dθ/√{1-(sin(θ}^2)} [x=sinθと置き換えた].
⇔1/2<∫[0->1/2]dx/√(1-x^3)<∫[0->π/6]dθ
⇔1/2<∫[0->1/2]dx/√(1-x^3)<π/6
で所望の不等式が得られた.

Answer 2

凪津

今回は真ん中の写真の｢であるから｣についてのみ説明します。
今回の｢であるから｣は何をしているのかと言いますと、逆数をとっています。逆数をとると大小はひっくり返ります。

よく分からなければ↓をお読みください

文字があると分かりにくいと思いますので、例として1<2<4を考えてみてください。それぞれの逆数を取ると、1,1/2,1/4となり、大小は1/4<1/2<1とひっくり返っていますよね
それと同じことをしています
1,1＋(sinx)^2,2の逆数をとり、大小をひっくり返しています。
1/1＋(sinx)^2の大きさは明確には分かりませんが、先程の例のように、大小がひっくり返るのは明らかなので真ん中の写真の様に書いて問題ないのです

これでもよく分からなかったらすみません。

かず

2枚目の写真の1行目がわかりません、そこもお願い致します、すみません

凪津

問題文にある1＋(sinx)^2を作りたいので、等式の性質を利用して左辺、中辺、右辺すべてに1を足しています