Question

mako_01

教えてください！((至急です

まだここは学校では未履修で塾でやらなければいけないので糸口とかポイントなどもいただけると幸いです

1  RE
万 <を未知数とする 3次方程式z? + (2一2)z? (が一3を十2)z 1

。 7とする. #> 0ならば, o+プア+y ミ0であること を
を宗

解と係数との関係 数ii 応用

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ピタゴラス

3つの解に関する問題は今回のように解と係数との関係を使うことが多いです。

ポイントとしてはα^2+β^2+γ^2をtで表したあとどう
やって０以下になるかを示すかですが、今回は偶然綺麗な形となり簡単なパターンでした。

しかし、大体は綺麗にならないことが多いのでそのtで表された関数を微分し増減表を作って、グラフを描き、証明するのが無難ですね。😀

mako_01

ありがとうございます！助かりました

Answer 2

LUX SIT

未履修でも分かるような解答を書いて見ます.
***
3次方程式の解と係数の関係は
x^3+ax^2+bx+c=(x-α)(x-β)(x-γ)=0 [2次方程式の場合と同じです]
から
α+β+γ=-a, αβ+βγ+γα=b, αβγ=-c
である[xに関する恒等式とみる. x^2, x^1, x^0の係数比較.].
またα^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)
α+β+γ=-a=-2(t-1), αβ+βγ+γα=b=(t-1)^2(t+2)[因数分解しておく]なので
α^2+β^2+γ^2=4(t-1)^2-2(t-1)^2(t+2)=-2t(t-1)^2
したがってt>0ならばα^2+β^2+γ^2≦0である.　
ただし等号成立はt=1[実はこの場合は1の3乗根. 塾の先生はここを説明するでしょう]のときである.
***
[発展]
定数項が1でα^2+β^2+γ^2≦0ということは3次方程式の解は実数解1個, 共役な虚数解1組の場合です.
この事実から解を構成していけば...あとは塾の先生が解説してくれるでしょう.

mako_01

ありがとうございます！すごく理解できました、

Answer 3

ゲスト

α²+β²+γ²=(α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα)であることを利用してみてください。
三次方程式の解と係数の関係は調べてみてください。

mako_01

ありがとうございます！頑張ってやってみます