2つの問題(1)(2)を考えます。
(1)6人を2人ずつA,B,Cのグループにわける方法は何通りあるか。
(2)6人を2人ずつ3組にわける方法は何通りあるか。
ポイントとなるのは、「組に区別があるかないか」です。
例えば一郎、次郎、三郎、四郎から2人ずつ選んで嵐と乃木坂2というアイドルグループを作るとして、
嵐(一郎,三郎) 乃木坂2(二郎,四郎)
嵐(二郎,四郎) 乃木坂2(一郎,三郎)
とするのでは異なります。
しかし、単に体育の授業で先生に「2人1組になって」と言われれば、(一郎,三郎)(二郎,四郎)だろうと(二郎,四郎)(一郎,三郎)だろうと1通りです。
それと同じでように考えます。
(1)ではA,B,Cとグループ名をつけているので区別が生まれます。まず最初の2人が6C2、次が残った4人から2人を選ぶ4C2、最後が2C1なのでかけて90通りです。しかし(2)では区別は生まれないので同じ計算のあと3！で割る必要が出てきます。最初に6人から①②(ここが②①でも変わらないので6P2でなく6C2)を、次に③④を、最後に⑤⑥を選んでチームを作るのと、6人から⑤⑥,4人から③④,残った2人から②①とするのでは全くできる組は同じです。さっきの例でいう下のパターンです。よって3！で割らないといけません。
今は2人、2人、2人ですが、人数が異なればたとえグループ名がなかったとしても、当たり前ですが人数が違うのでそこに区別は生まれてきます。
今回の問題でいうと、1枚目の割ってないほうは部屋が異なれば違ってくるから区別が生まれるわけで、2枚目は3人3人のペアは入れ替えても同じことなので、割る必要が出てきます。
※この指とまれ法が有効なのは、人数が同じときなので、使い方には注意です。質問の写真の2枚目のような問題は、最初に8人から2人を選ぶ8C2をしてからこの指とまれを用いて、5C2×1を計算すれば280通りになります。うまく使えば計算が簡単になります。1枚目をこの指とまれ法でやれば11C3×7C3×3！=34650です。
ありがとうございます
区別の有無を考える上で一番イメージしやすいのは、自分に置き換えて考えることです。
自分に置き換えて考えることで、例えば(2)はこんな別解も考えられます。僕はこのやり方を「この指とまれ法」と呼んでます。
6人のうち一人が自分だとしてください。まず自分以外の5人のうち誰と組もうか気になりますよね。そこで手をあげて「この指とまれ」をします。そしたら5C1=5通りで自分の組ができますね。そしたら、残った4人の中の一人もこの指とまれをします。そしたら自分以外の3人のうちから組む人を1人を選ぶので3C1=3通りとなります。残った2人は必然的に組になるので1通りです。よって5×3=15通りです。
ちなみに、この指とまれをして組を決めたあと、その3組を3部屋に並べると考えたら、その方法3！通りをかけることにより(1)の90通りも出ます。