✨ ベストアンサー ✨
(1)
答えは2n^2 + 2n + 1になります。
考え方としては、おおむね掲載されてる画像に書かれている通りで良いと思います。
|x| + |y| ≦ nの表す領域がxy平面でイメージできるとより分かりやすくなると思います（(n, 0)、(0, n)、(-n, 0)、(0, -n)の4点を頂点に持つ正方形になります）。
xとyという2つの変数がいっぺんに動くと難しいので、まずxをある値に固定して、そのもとでyを動かして(x, y)が整数となる組の個数を考えていく感じです。
たとえば、x = nと固定してみると、yが整数となるのは明らかに0だけですので、整数の組は(n, 0)の1つだと分かります。
次にx = n - 1としてみると、yが整数となるのは、-1、0、1のときですので、整数の組は(n - 1, -1)、(n - 1, 0)、(n - 1, 1)の3つだと分かります。
一般にx = k (k = 0, 1, …, n)と固定したとき、不等式から|y| ≦ n - kとなるので、これを満たす整数yの個数は2(n - k) + 1となります（yがプラスとなるのがn-k個、マイナスになるのが同じくn-k個、ゼロになるときも考えて全部で2(n - k) + 1個）。
ここまでxが0以上の場合を考えてきましたが、負の数であるときも同様です。したがって、全部の整数の組の個数を足し合わせると、
2Σ{2(n-k) + 1} + 2n + 1
となります。Σはkに関する1からnまでの和を取ります。これを計算して、最終的な答えは2n^2 + 2n + 1になります。
(2)は、(1)で得られた結果を利用します。新たな変数zは-n ≦ z ≦ nを満たしますので、ここでもzをいったん固定してみて考えます。
z = k (k = 1, 2, …, n)と固定してみると、不等式を変形して、
|x| + |y| ≦ n - k
です。これを満たすような整数の組(x, y)の個数は、(1)で求めた答えのnをn - kに置き換えるだけで求まります。すなわち、
2(n - k)^2 + 2(n - k) + 1 個です。
したがって、条件を満たす整数組(x, y, z)の個数は、
2Σ{2(n - k)^2 + 2(n - k) + 1} + 2n^2 + 2n + 1
を計算して求まります。Σはkに関する1からnまでの和を取ります。計算すると、
(2n + 1)(2n^2 + 2n + 3)/3
になると思います（計算ミスがあったらすみません…）。
