両面とも赤のカードを「赤のカード」、両面とも白のカードを「白のカード」、片面が赤でもう片面が白のカードを「赤白のカード」とここでは呼ぶことにします。
まず全事象を求めると、n枚のカードから2枚選ぶときの選び方の総数はnC2通り、また2枚選ばれたカードのそれぞれでどちらの面が上になるかの総数が2×2=4通り、したがって全事象は4×nC2 = 2n(n - 1)通りです。
(1)
事象A：どちらのカードも上の面が赤となる場合の数を求めます。これには2つのパターンが考えられます。
パターン(i)、赤のカード1枚と赤白のカード1枚を選び、かつ赤白のカードの上面が赤になる。
パターン(ii)、赤白のカードを2枚選び、かつどちらのカードも上面が赤になる。
パターン(i)について考えると、赤のカードの選び方は1通り、赤白のカードを1枚選ぶ時の選び方はn - 2通り。また赤のカードの上面がどちらになるかが2通り。したがって、1 × (n - 2) × 2 = 2(n - 2)通り
パターン(ii)について考えると、赤白のカードを2枚選ぶ時の選び方はn-2C2通り。2枚のカードはどちらも赤を上面にしないといけないので、カードの面の出方は1通り。したがってn-2C2 = (n - 2)(n - 3)/2通り
以上まとめると、事象Aの起こる場合の数は、
2(n - 2) + (n - 2)(n - 3)/2 = (n - 2)(n + 1)/2通り。
したがって、求めたい確率P(A)は、
P(A) = (n - 2)(n + 1) / 2 / 2n(n - 1) = (n-2)(n+1) / 4n(n - 1)
(2)
事象Aが起こった上で、事象B：下の面が2枚とも白が起こる場合は、(1)であげたパターン(ii)のときのみです。したがって、そのような場合の数は(n - 2)(n + 1)/2通り。
したがって条件付き確率PA(B)は、
{(n - 2)(n - 3) / 2} / {(n - 2)(n + 1) / 2} = (n - 3) / (n + 1)
(3)事象Aが起こった上で事象Cが起こるのは、(1)であげたパターン(i)のときのみです。したがってそのような場合の数は2(n - 2)通り。
条件付き確率PA(C)は、
2(n - 2) / {(n - 2)(n + 1) / 2} = 4 / (n + 1)
PA(B)とPA(C)の大小を比較すると、
3 ≦ n < 7のときPA(B) < PA(C)
7 ≦ n のときPA(B) ≧ PA(C)
