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極値を持つ
→f'(x)が符号変化していてxの前後で連続
というのはパッと思いつけるようにしましょう。
これを知っていたら下記の解説までとばして大丈夫です。
いまいち分かっていなかったら順に読んでみて下さい。
・f'(x)が符号変化とは
例えば
f'(x)=x+1のときx=-1の前後で符号変化しています。
(x=-2ならf'(x)=-1、x=0ならf'(x)=1)
f'(x)=x²のときxがどんな値でもf'(x)は正なので符号変化していません。
つまりf'(x)=0になるxを探して、その前後で符号が変わってるか調べろってことです。
・xの前後で連続とは
大雑把に言えばxの前後でグラフが滑らかになってるかどうかということです。
例えば
f(x)=|x|について
x≧0のときf(x)=x
x≦0のときf(x)=-x
なので、グラフはx=0のところがとんがっているので極値ではないとなります。
・解説
f(x)=x³-6x²+12x
について
f'(x)
=3x²-12x+12
=3(x²-4x+4)
=3(x-2)²>0
であり常に正なので極値を持たない
今回は単調増加(常に正)だったのでサクッと終わりましたが、多くはf'(x)=0を求めたあと増減表を書き符号変化しているのか確かめます。
とても丁寧でわかりやすい解説ありがとうございます！