✨ ベストアンサー ✨
a[n+1]=p*a[n]+qをa[n+1]-α=p*(a[n]-α)の形にして解くことは知っていると思います.
この問題の厄介な点はqが-2^(n+1)とnを含むことです.
これを解消するために全体を2^(n+1)で割ってやります.
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両辺を2^(n+1)≠0で割ると
a[n+1]/2^(n+1)={2^2/2^(n+1)}a[n]-1=2*(a[n]/2^n)-1
ここでb[n]=a[n]/2^nを定義すると
b[1]=a[1]/2^1=0, b[n+1]=2b[n]-1
b[n+1]-1=2(b[n]-1)と変形できる[特性方程式α=2α-1からα=1です]ことから
b[n]-1=2^(n-1)*(b[1]-1)⇔b[n]=1-2^(n-1)
と求まる. b[n]の定義から
a[n]=2^n*b[n]=2^n*(1-2^(n-1))=2^n-2^(2n-1)
と一般項が求まった.
ありがとうございます！