Question

紫野

この問題の解説お願い致します💦

実数 5に対して, 関数 /(*)ニダ*十62"十0z を考える。
(①②) が極大値と極小値をもつための co, ちの条件を求めよ。

(②) 4 5が(1) の条件を満たますとする。 太め の極大値と極小値の差が 4
に等りく, かっ /(④ =4であるとき, ちの値を求めよ。

数学 関数の増減と極大・極小 微分

Answer 1

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sss

3次関数が極値をもつ→f'(x)＝0が異なる二つの実数解をもつ。→判別式D>0を満たす。
(1)
f'(x)＝3x^2+2ax+b
D＝4a^2−12b>0
整理して、
b<a^2/3
(2)
f(4)＝64+16a+4b＝4
b＝−4a−15

極値をx＝α,βのときにとるとします。

極値の差は
∫f'(x)dx[β,α]＝(3/6)・(β−α)^3 ([β,α]は積分区間)

また、α,βは
3x^2+2ax+b＝0の二つの解なので、解と係数の関係より
α+β＝−(2a/3)
αβ＝b/3

(β−α)^3＝{(α+β)^2−4αβ}^(3/2)
＝{(4a^2−12b)/9}^(3/2)
＝(1/27)・(4α^2−12b)^(3/2)
＝(1/27)・(4a^2+48a+180)^(3/2)
＝(8/27)・(a^2+12a+45)^(3/2)

3/6・(β−α)^3＝4なので
(β−α)^3＝8

8＝(8/27)・(a^2+12a+45)^(3/2)
27＝(a^2+12a+45)^(3/2)
3^6＝(a^2+12a+45)^3
3^2＝a^2+12a+45
a^2+12a+36＝0
(a+6)^2＝0
a＝−6, b＝9

紫野

ありがとうございます🙇‍♀️