Question

りのぺち

(2)の解説(写真２枚目)でx≧4のときの値を求めるのはなんでですか？

一4十2) とおく。
の家数解*x をすべて求め小さい順に並べよ。
満たす整数ヵをすべて求めよ。

たす整数ヵ をすべて求めよ。                 (07 九州大

=0 から

ァ-2=0 また【

ょって ターキツ5 2上2

解を小さい順に並べちと
ー/2, 2-ツ2,

⑳ 9⑦⑳ ニッ*ー2,
ニー人z+2 とす

ると
(4ー2/ー2
ょって,G=めのとき
9⑦と9(④ =14
3    のこん 2
』 であるから 7の28
上ミー2 のとき g(⑦と9(-2) =2
      ヵ(*)テ(一2) 三14
であるから /(?こ28
1マメミ3 の範囲の整教*について, 7(*) の値
は次の表のようになる。

一01Tに2   8
17に2 =7
 したがって, 7(ヵ) ミ0 を満たす整数 ヵ は
」     タニー1, 0, 2, 3

(⑫ から, 7(ヵ) ミ1 を満たす整数 ヵ は
タニー1, 0, 1 2, 3

26 (①⑪ 7②       =デーを 2=0

/g, 2+Y2

Answer 1

LUX SIT

まず(1)でf(x)=0の解を求めました.　小さい順から並べると
-2<-√2<-1<2-√2<1<√2<3<2+√2<4
f(x)の符号について注目すると[微分で増減を調べたときと同じ要領です]
x<-√2でg(x)>0, -√2<x<√2でg(x)<0, x>√2でg(x)>0
x<2-√2でh(x)>0, 2-√2<x<2+√2でh(x)<0, x>2+√2でh(x)>0
なので, (1)の結果と合わせてx<-√2でf(x)>0, x>2+√2でf(x)>0がいえます[符号の積].
***
ここで興味のあるxは整数であることに注意しましょう. 解答の-2と4は直近の整数で都合のいいものを選んでいるわけです.
またg(x)とh(x)が上の範囲で正かつ共に単調増加あるいは単調減少な関数であることから
g(4)>g(2+√2)>0, h(4)>h(2+√2)=0すなわちf(4)>f(2+√2)=0で, これからx≧4[単調増加区間]ではf(x)≧f(4)>0がいえます.
同様に考えるとx≦-2でf(x)≧f(-2)>0がいえます.
***
最後に論理の問題があります.
f(n)≦0を満たすすべての整数n, これはf(n)>0を満たすすべての整数以外のn, と言い換えることが出来ます.
ようするに解答は条件を満たさないものを排除して, 残りの中から絞っていく, という手法をとっているわけです.
具体的に書くと
x≦-2でx≧4でf(x)>0なので条件を満たせないことを示す->残りの中にf(x)≦0を満たすものがある->それを具体的に調べる
という流れになるわけです.

LUX SIT

[補足]　
g(x), h(x)が解読を難しくしていると思ったら, 微分して解いてみるといいです.
***
f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2)は最大次が正の4次関数で, (1)で零点(根, あるいは方程式の解)を求めているので概形を書くことが出来ます.
またf(x)=(x^2-2)(x^2+2)-4x(x^2-2)=(x^4-4)-(4x^3+8x)=x^4-4x^3-8x+4なので
f'(x)=4x^3-12x^2-8=4(x^3-3x-2)=4(x-1)(x^2-2x-2)=4(x-(1-√3))(x-1)(x-(1+√3))
増減はx<1-√3で単調減少, 1-√3<x<1で単調増加, 1<x<1+√3で単調減少, x>1+√3で単調増加です[増減表でまとめてもよい].
1+√3(単調増加域)<[3<]2+√2(零点)<4なので, x≧4では常にf(x)>0がいえます. したがってf(x)≦0にはなりえません.
1-√3(単調減少域)>[-1>]-√2(零点)>-2なので, x≦-2では常にf(x)>0がやはりいえます.
[これは自分の描いたグラフで納得してもらってもいいです.]
***
これが分かれば, 解答の意図も分かってくると思います.