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f(x,y)=0とg(x,y)=0 との交点を点(a,b)とします。
(交点を持つとする。)
すると
f(a,b)=g(a,b)=0が成り立つので
f(x,y)+kg(x,y)=0 という方程式は、
f(a,b)+kg(a,b)=0が成り立ちますよね。・・・①
(なぜなら 0+k•0=0が成り立つからです。)
ここで、
f(x,y)+kg(x,y)=0 という方程式は、なんらかのxとyについての関数を表します。ということは、xy平面上でなんらかのグラフを描き得るということです。このグラフをh(x,y)=0・・・②としておきましょう。ここでグラフ②は、①から点(a,b)(すなわちf(x,y)=0とg(x,y)=0との交点)を通るということになります。
以上より
f(x,y)+kg(x,y)=0 は
f(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通るなんらかのグラフが描けます。
抽象度が高いので、具体的にやってみましょう。
f(x,y)=x^2+y^2-4=0,g(x,y)=(x-2)^2+(y-3)^2-13=0
としてやってみましょう。
ここで
f(x,y)+kg(x,y)=0を考えると
(x^2+y^2-4)+k((x-2)^2+(y-3)^2-13)=0・・・③
となりますね。③を眺めてみると、f(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通るx,yの高々二次式になっています。ここで直線の方程式はx,yの一次式ですので、③におけるkをk→-1とすると
(X^2+y^2-4)-(x^2-4x+4+y^2-6y-4)=0
⇔4x+6y-4=0
これがf(x,y)=0とg(x,y)=0との交点を通る直線の方程式です。最高次の係数を調整してやることで交点を通る直線、又は円の方程式にもすることができます。
形式的に二つの図形を交点とする方程式を作るためにkと置いただけです。kの値によって文字の字数を変えることでh(x,y)=0の図形を変えることができます。
この前解答したもののコピペなので、質問に答えれてなかったですね。ごめんなさい
長文でありがとうございます！
f(x,y )という表し方をまだつかったことがなくてですね、序盤も序盤なのですがこれが何を表しているのか教えていただきたいです！
あと、結局kはどこから来たのですか？