✨ ベストアンサー ✨
想像以上にチェックするポイントが多いのでゆっくり考えてください.
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まず定義域がx≠1であることを確認します.
商の微分法で計算してもいい[自分でやってみよう]ですが, ここでは少し違う方法でやってみます.
x≠1に注意して, (2x-2)y=x^2-3x+4とします.
両辺をx[但しx=1は除く]で微分すると[積の微分法を使います]
2y+(2x-2)y'=2x-3⇔y'=(2x-2y-3)/(2x-2)
⇔y'={2x(2x-2)-2(x^2-3x+4)-3(2x-2)}/(2x-2)^2 [元のyを代入]
⇔y'=(x^2-2x-1)/2(x-1)^2
またもう一度, 両辺を定義域のxで微分すると
2y'+2y'+(2x-2)y''=2⇔y''=(2-4y')/(2x-2)=(1-2y')/(x-1) [上のy'を代入]
⇔y''=2(x-1)^2-2(x^2-2x-1)/2(x-1)^3
⇔y''=2/(x-1)^3
と計算できます.
またy=(x-2)/2+{1/(x-1)}と変形できるので, 漸近線はx=1とx-2y=2
[このチェックもグラフを書くために大事です]. 実際,
lim[x->1-0] (x-2)/2+{1/(x-1)}=-∞ [(x-2)/2は有限確定値, 1/(x-1)は-∞へ]
lim[x->1+0] (x-2)/2+{1/(x-1)}=+∞ [同じように考えます]
lim[x->-∞] (x-2)/2+{1/(x-1)}-{(x-2)/2}=0 [元の曲線と漸近線の差がx->-∞で0に近づく]
lim[x->+∞] (x-2)/2+{1/(x-1)}-{(x-2)/2}=0 [これも同じことです]
増減は導関数y'から
x<1-√2で単調増加, 1-√2<x<1で単調減少, 1<x<1+√2で単調減少, 1+√2<xで単調増加
以上からx=1-√2で極大値-√2-(1/2), x=1+√2で極小値√2-(1/2)をとることが分かります.
また極値における2階微分を見ると
x=1-√2でy''<0なので上に凸, x=1+√2でy''>0なので下に凸であることが分かります.
あとはグラフを書けば完成です. 双曲線になっているはずです.
こんなやり方もあるんですね！とても分かり易かったです。ありがとうございました。
実際のグラフを見てみたいなら
https://www.geogebra.org/graphing
https://www.wolframalpha.com/
あたりを利用してみましょう.
[GeoGebraはchromeだと上手く表示されないかもしれません. FirefoxだとOKでした.]